Abstand Punkt Gerade? < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind ie Punkte A(2/3/19) und B(4/9/11) sowie die Gerade g: [mm] \vec [/mm] x= [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm]
Zeigen Sie das B auf g liegt.
Berechnen Sie den Abstand d der Punkte A und B
Begründen Sie, dass d der Abstand des Punktes A von g ist. |
Hallo,
Teil 1 habe ich gelöst. B liegt auf g.
Bei der Abstandsberechnung habe ich aber leichte Probleme. Zunächst braucht man den Lotfußpunkt. Aus g folgt L(2+t/5t-1/3+4t). Der Richtungsvektor von g und der vektor von [mm] \vec [/mm] AL sind ja ortogonal.
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}*(\vec [/mm] AL)=0 ==> 0=42t-84 t=2
Einsetzen von t um Lotfußpunkt zu bestimmen. L(4/9/11)
[mm] \vec [/mm] AL=(4-2/9-3/11-19)=(2/6/-8) Betrag um die Länge zu bekommen: [mm] 2*\wurzel{26} [/mm]
In der Lösung steht alledings [mm] \wurzel{104}. [/mm] Wo liegt der fehler? Denkfehler?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Fr 28.03.2008 | | Autor: | totmacher |
Frage hat sich beantwortet. Habe vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr gesehen. Zunächst ist [mm] 2*\wurzel{26} [/mm] ja [mm] \wurzel{104}. [/mm] Dann kann man den Abstand einfacher bestimmen, da B ja unser Lotfußpunkt ist. Von A zieht man dann ja B ab, dann den Betrag, dann hat man [mm] \wurzel{104} [/mm] raus. Muss ertsmal ne Pause machen, schon zuviel gelernt heute.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
L ist bei dir doch nur die Gerade "in einer anderen Schreibweise". Also würde ich das mal noch nicht L nennen.
Vllt. fällt es dir leichter, so geht es mir jedenfalls, wenn du hier eine Hilfsebene bildest.
Man nimmt den Punkt A als Aufpunkt der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor.
Nun ermittelt man den Schnittpunkt der beiden; das ist der Lotfußpunkt.
Der Abstand von A zum soeben ermittelten Lotfußpunkt sei nun der Abstand der Geraden zum Punkt A.
Vorweg; es kommt das gleiche Ergebnis raus; nämlich der Lotpunkt in [mm] \vektor{4 \\ 9 \\ 11}.
[/mm]
Nun kommt ein kleiner Denkfehler von dir ;)
1. hast du dein Ergebnis schon mit deinem Ergebnis :p
2. Du musst nun nicht die Länge des Vektors zwischen den beiden bestimmen; falls du dir mal bei Wikipedia oder so anschaust, was du räumlich machst, wenn du 2 Vektoren so mit einander verrechnest.
Das "kannst du dir sparen".
Du musst hier lediglich den räumlichen Pythagoras anwenden und erhälst dein Ergebnis von [mm] \wurzel{104}.
[/mm]
Lg
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