Abstand Punkt zu Gerade < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 So 03.02.2013 | | Autor: | Nicco |
Hallo zusammen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt!
Ich habe folgende Formel gegeben um den Abstand eines Punktes x von einer Geraden g zu berechnen. Dabei hat die Gerade den Steigungswinkel [mm] \alpha [/mm] und [mm] x_{0} [/mm] ist ein Punkt auf der Geraden:
[mm] [\sin(\alpha) \cos(\alpha)] \cdot (x-x_{0}) [/mm] wobei [mm] x,x_{0} \in R^2
[/mm]
Zu beachten ist, dass das Koordinatensystem der Computergrafik verwendet wird!
Ich habe diese Formel implementiert und alles funktioniert auch wunderbar, nur möchte ich die Formel auch herleiten können.
Ich hoffe, dass mir jemand von euch Starthilfe leisten möchte.
Vielen Dank und Grüsse
Nicco
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Hallo,
> Ich habe folgende Formel gegeben um den Abstand eines
> Punktes x von einer Geraden g zu berechnen. Dabei hat die
> Gerade den Steigungswinkel [mm]\alpha[/mm] und [mm]x_{0}[/mm] ist ein Punkt
> auf der Geraden:
>
> [mm][\sin(\alpha) \cos(\alpha)] \cdot (x-x_{0})[/mm] wobei [mm]x,x_{0} \in R^2[/mm]
>
> Zu beachten ist, dass das Koordinatensystem der
> Computergrafik verwendet wird!
>
> Ich habe diese Formel implementiert und alles funktioniert
> auch wunderbar, nur möchte ich die Formel auch herleiten
> können.
>
> Ich hoffe, dass mir jemand von euch Starthilfe leisten
> möchte.
Das Problem an der Sache ist zunächst, das der obige Term ein Vektor aus dem [mm] \IR^2 [/mm] ist und somit kein Abstand. Dann solltest du uns noch sagen, was hier als Steigung verstanden werden soll, das ist ein Begriff/Konzept, welches man in der Vektorrechnung üblicherweise nicht verwendet.
Das alles kann so gar nicht funktionieren, sei also so gut und gib die richtige Formel an. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 So 03.02.2013 | | Autor: | Nicco |
Hallo Diophant,
Vielen Dank für deine Antwort.
Es sollte eigentlich ein Produkt aus einem Zeilen und einem Spaltenvektor darstellen, also
[mm] $[\sin(\alpha) \cos(\alpha)] \cdot (\textbf{x} [/mm] - [mm] \textbf{x}_{0}) [/mm] = [mm] [\sin(\alpha) \cos(\alpha)] \cdot (\vektor{x \\ y} [/mm] - [mm] \vektor{x_{0} \\ y_{0}}) [/mm] = [mm] [\sin(\alpha) \cos(\alpha)] \cdot \vektor{x-x_{0} \\ y-y_{0}} [/mm] = [mm] \sin(\alpha) \cdot [/mm] (x - [mm] x_{0}) [/mm] + [mm] \cos(\alpha) \cdot [/mm] (y - [mm] y_{0})$ [/mm] wobei [mm] $\textbf{x} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ y}, \textbf{x}_{0} [/mm] = [mm] \vektor{x_0 \\ y_0}$.
[/mm]
Mit dem Steigungswinkel ist der Winkel gemeint, den die Gerade g mit der positiven x-Achse einschliesst.
Ich gebe noch ein kleines Beispiel an:
[mm] $\alpha [/mm] = 45 [mm] ^\circ$, [/mm] Gerade g ist definiert durch die Endpunkte [mm] $\vektor{2 \\ 5}$ [/mm] und [mm] $\vektor{6 \\ 1}$. [/mm] Also sei [mm] $\textbf{x}_{0} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 5}$
[/mm]
Ich möchte nun den Abstand des Punktes [mm] $\textbf{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ 2}$ [/mm] von der Gerade g bestimmen, also $sin(45) [mm] \cdot [/mm] 3 + cos(45) [mm] \cdot [/mm] (-3) = 0$, der Punkt liegt auf der Geraden g.
Beachte: Koordinatensystem der Computergrafik mit Nullpunkt oben links, positive x-Achse zeigt nach rechts und positive y-Achse zeigt nach unten!
Bitte sag mir, wenn meine Schreibweise falsch ist, ich bin dankbar für jede Kritik!
Vielen Dank und Grüsse
Nicco
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 So 03.02.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
der Einheits Richtungsvektor der Geraden ist [mm] \vektor{cos(\alpha) \\ -sin(\alpha} [/mm] mit deinen Achsen
damit ist der darauf senkrechte Normalenvektor [mm] \vektor{sin(\alpha)\\ cos(\alpha)}
[/mm]
das Skalarprodukt mit dem Differenzvektor [mm] x-x_0 [/mm] ergibt die Projektion des Differenzvektors auf die Normalenrichtungund das ist der Abstand, zeichne es auf!
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:41 So 03.02.2013 | | Autor: | Nicco |
Super, vielen Dank leduart!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit der Projektionsformel erhalte ich dann:
[mm] $\vec{p} [/mm] = [mm] \frac{\overrightarrow{(\textbf{x}-\textbf{x}_{0})}\cdot\vec{n}}{n^2}\cdot\vec{n}$
[/mm]
Die Länge von [mm] $\vec{p}$ [/mm] entspricht in diesem Fall gerade dem Faktor
[mm] $\frac{\overrightarrow{(\textbf{x}-\textbf{x}_{0})}\cdot\vec{n}}{n^2}$ [/mm] weil ich auf die Einheitsnormale projeziert habe, korrekt? Wesshalb auch [mm] $n^2 [/mm] = 1$ also
[mm] $|\vec{p}| [/mm] = [mm] [\sin(\alpha) \cos(\alpha)]\cdot(\textbf{x}-\textbf{x}_{0}).
[/mm]
Vielen Dank und Grüsse
Nico
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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