Abstand Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 Fr 05.10.2012 | | Autor: | melodie |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Abstand der Vektoren [mm] v_1= \vektor{1 \\ 0 \\ 2 } [/mm] und [mm] v_2= \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] bezüglich der Norm [mm] \parallelx\parallel= |x_1-x_3|+|x_1+x_2|+|x_2-x_3| [/mm] |
Ich habe keine Ahnung was hier zu machen ist. Ich würde einfach die Vektoren subtrahieren, aber was muss ich mit der Norm machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Fr 05.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ob du zeigen musst, dass das eine Norm ist weiss ich nicht. wenn es eine ist, dann bilde die Differebz v2-v1 und davon die angegebene Norm.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Sa 06.10.2012 | | Autor: | melodie |
> Hallo
> ob du zeigen musst, dass das eine Norm ist weiss ich
> nicht. wenn es eine ist, dann bilde die Differebz v2-v1 und
das war zu zeigen und habe es auch gemacht.
[mm] v_2-_1 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -2 }
[/mm]
> davon die angegebene Norm.
wie geht denn das ?
> Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo
> > ob du zeigen musst, dass das eine Norm ist weiss ich
> > nicht. wenn es eine ist, dann bilde die Differebz v2-v1
> und
>
> das war zu zeigen und habe es auch gemacht.
> [mm]v_2-v_1[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -2 }[/mm]
> > davon die angegebene
> Norm.
> wie geht denn das ?
na, schau in die Definition Deiner Norm: Man bildet die Differenz zwischen
der ersten und 3en Komponente, davon dann den Betrag - zu diesem
addiert man den Betrag der Summe aus der ersten und zweiten
Kompononente und zu guter letzt addiert man noch den Betrag der
Differenz zwischen der zweiten und dritten Komponente. Wie hast Du
denn bewiesen, dass, ich schreibe es mal so
[mm] $$n_3: \IR^3 \to [0,\infty),\;n_3((x_1,x_2,x_3)^T):=|x_1-x_3|+|x_1+x_2|+|x_2-x_3|$$
[/mm]
eine Norm auf dem [mm] $\IR^3$ [/mm] ist, wenn Du nicht verstanden hast, was
[mm] $n_3$ [/mm] überhaupt macht? Bist Du sicher, dass Dein Beweis richtig ist?
Da musst Du doch verstanden haben, wie [mm] $n_3$ [/mm] auf ein
[mm] $x=(x_1,x_2,x_3)^T \in \IR^3$ [/mm] "wirkt"?!
P.S.:
$|-1-(-2)|+|-1+1|+|1-(-2)|$ bekommst Du nun sicher auch noch ausgerechnet 
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie den Abstand der Vektoren [mm]v_1= \vektor{1 \\ 0 \\ 2 }[/mm]
> und [mm]v_2= \vektor{0 \\ 1 \\ 0 }[/mm] bezüglich der Norm
> [mm]\parallelx\parallel= |x_1-x_3|+|x_1+x_2|+|x_2-x_3|[/mm]
> Ich
> habe keine Ahnung was hier zu machen ist. Ich würde
> einfach die Vektoren subtrahieren, aber was muss ich mit
> der Norm machen?
wie Leduart schon sagte, kann man der Aufgabe den "Mehrwert" geben,
zu zeigen, dass mit
$$|.|: [mm] \IR^3 \ni [/mm] x [mm] \mapsto |x|=|(x_1,x_2,x_3)^T|:=|x_1-x_3|+|x_1+x_2|+|x_2-x_3|$$
[/mm]
tatsächlich eine (weitere!) Norm auf dem [mm] $\IR^3$ [/mm] definiert ist (und das
ist nicht die, die uns die "anschauliche euklidische Metrik" induziert!).
Ich mache mal die Aufgabe vollkommen analog
(das war leider nicht analog, weil ich die Aufgabenstellung falsch gelesen
hatte!!) eine ANDERE Aufgabe im [mm] $\IR^2$ [/mm] mit (natürlich) anderen
Vektoren und einer ANDEREN NORM:
Im [mm] $\IR^2$ [/mm] setzen wir
$$n: [mm] \IR^2 \ni [/mm] x [mm] \mapsto n(x):=|x_1|+|x_2|\,.$$
[/mm]
Das ist eine Norm auf dem [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] (Sie "misst" sowas wie die Länge
eines [mm] $\IR^2$-Vektors [/mm] - nur halt nicht die "anschauliche"!)
Jede Norm induziert eine Metrik, d.h. man kann nun einen Abstand
zwischen $v,w [mm] \in \IR^2$ [/mm] wie folgt "messen"
[mm] $$d(v,w):=n(v-w)\,.$$
[/mm]
(Beachte dabei: $v,w [mm] \in \IR^2 \Rightarrow [/mm] v-w [mm] \in \IR^2\,.$)
[/mm]
Wäre bei mir also [mm] $v=(1,2)^T$ [/mm] und [mm] $w:=(5,4)^T\,,$ [/mm] so ist der Abstand
zwischen diesem [mm] $v\,$ [/mm] und [mm] $w\,,$ [/mm] und zwar bzgl. der Norm [mm] $n\,$ [/mm] (!!),
gegeben durch
[mm] $$n(v^T-w^T)=n((v-w)^T)=n(\;(1-5,\,2-4)^T\;)=|-4|+|-2|=4+2=6\,.$$
[/mm]
Was wurde gemacht? Schau's Dir an: Man berechnet
[mm] $z^T:=v^T-w^T \in \IR^2$ [/mm] und danach dann [mm] $n(z^T)\,.$
[/mm]
P.S.
Du könntest, weil eine Metrik halt symmetrisch ist und man nachweisen
kann, dass die durch eine Norm induzierte Metrik ihren Namen zu Recht
trägt, also eine Metrik ist, natürlich auch [mm] $\tilde{z}^T:=w^T-v^T$ [/mm] und
dann [mm] $n(\tilde{z}^T)$ [/mm] berechnen: Es gilt [mm] $n(z^T)=n(\tilde{z}^T)\,.$
[/mm]
P.P.S.:
[mm] ${{\;}^T}$ [/mm] ist einfach die ![[]](/images/popup.gif) Transposition!
Gruß,
Marcel
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