Abstand eines Punktes < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Di 19.06.2018 | | Autor: | Ataaga |
| Aufgabe | | Ein Punkt Po= (111) liege in der von den Richtungsvektoren a=(234) und b=(−123) aufgespannten Ebene. Berechne sowohl den Abstand des Punktes P1=(555) von der Ebene, als auch den Durchstoßpunkt der durch P1 gehenden Geraden in Richtung der Flächennormalen durch die Ebene. |
Wie muss ich bei der Aufgabe vorgehen bzw. welche Formel muss ich hier anwenden?
den Abstand des Punktes P1 habe ich mit der HNF berechnet;
HNF= 1/lnl*nx-c/lnl=72/wurzel{150} !!!!
un wie rechne ich den Durchstoßpunkt?
Bitte um Unterstützung?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[https://www.onlinemathe.de/forum/Abstand-eines-Punktes-27]
Beste Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo,
vorneweg: die Art und Weise, wie du deine Frage hier präsentiert hast, ist nicht für eine zielführende Hilfestellung geeignet (Aus mehreren Gründen, die ich hier nicht aufzählen werde, außerdem kannst du da auch selbst dahinterkommen).
> Ein Punkt Po= (111) liege in der von den Richtungsvektoren
> a=(234) und b=(−123) aufgespannten Ebene. Berechne sowohl
> den Abstand des Punktes P1=(555) von der Ebene, als auch
> den Durchstoßpunkt der durch P1 gehenden Geraden in
> Richtung der Flächennormalen durch die Ebene.
> Wie muss ich bei der Aufgabe vorgehen bzw. welche Formel
> muss ich hier anwenden?
>
> den Abstand des Punktes P1 habe ich mit der HNF berechnet;
> HNF= 1/lnl*nx-c/lnl=72/wurzel{150} !!!!
Das kann man nicht lesen. Solltest du der Meinung sein, dass [mm]72/\sqrt{150}[/mm] der gesuchte Abstand ist: das ist falsch. Das einzige, was dabei stimmt, ist der Betrag des Normalenvektors im Nenner.
> un wie rechne ich den Durchstoßpunkt?
>
Du legst eine Gerade durch den Punkt [mm]P_1\left (5\mid 5 \mid 5 \right )[/mm], deren Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene ist. Dann erechnest du den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene (Durchstoßpunkt ist ein Synonym für einen Schnittpunkt zwischen einer Geraden und einer Ebene, das kommt meines Wissens nach aus der projektiven Geometrie).
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Di 19.06.2018 | | Autor: | Ataaga |
Hallo,
ich habe Aufgabenteil 1 nochmal berechnet:
<(P-a)*n>= [mm] -2/\wurzel{150}
[/mm]
ist das so richtig dass ich da ein negativen Vorzeichen habe?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> ich habe Aufgabenteil 1 nochmal berechnet:
> <(P-a)*n>= [mm]-2/\wurzel{150}[/mm]
>
> ist das so richtig dass ich da ein negativen Vorzeichen
> habe?
>
> Liebe Grüße
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wir kämen besser miteinander ins Gespräch, wenn Du etwas von Deinem Lösungsweg verraten würdest.
Wie lautet Dein Normalenvektor,
wie lautet Deine Hessesche Normalform?
Was meinst Du oben mit den spitzen Klammern?
Mein Ergebnis ist ein anderes als Deins - wer von uns sich verrechnet hat, könnte ich besser wissen, wenn ich von Deiner Rechnung etwas sehen würde.
Mal angenommen (!), Dein Ergebnis wäre richtig.
Der Abstand des Punktes zur Ebene wäre dann [mm] d=\bruch{2}{\wurzel{150}},
[/mm]
daß das Vorzeichen negativ ist, sagt uns, daß der Punkt und der Koordinatenursprung auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen.
LG Angela
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mi 20.06.2018 | | Autor: | Ataaga |
Hallo,
n=axb= (2, 3, 4)x(-1, 2, 3)=(1, -10, 7)
lnl = [mm] \wurzel{1^2+(-10)^2+7^2}= \wurzel{150}
[/mm]
HNF=( [mm] 1/\wurzel{150} [/mm] ) [mm] *n*x-c/\wurzel{150}
[/mm]
c=n*OA=(1, -10, 7)*(2,3,4)=(2,-30,28)=0
für x setze ich P1 ein.
also es folgt: HNF= ( [mm] 1/\wurzel{150} [/mm] ) *(1, -10, [mm] 7)*(5,5,5)-0/\wurzel{150}
[/mm]
HNF=( [mm] 1/\wurzel{150} [/mm] )*(5,50,35)= - [mm] 10/\wurzel{150}
[/mm]
Eckige klammer bedeuten dass man am ende alles zusammenfasst...
|
|
|
| |
|
Hallo,
> n=axb= (2, 3, 4)x(-1, 2, 3)=(1, -10, 7)
Der Normalenvektor stimmt, das hatte ich dir ja auch indirekt schon bestätigt.
> lnl = [mm]\wurzel{1^2+(-10)^2+7^2}= \wurzel{150}[/mm]
>
> HNF=( [mm]1/\wurzel{150}[/mm] ) [mm]*n*x-c/\wurzel{150}[/mm]
>
> c=n*OA=(1, -10, 7)*(2,3,4)=(2,-30,28)=0
Auch das ist korrekt.
EDIT: das ist entgegen meiner ersten Bestätigung falsch. Und zwar, weil von einem falschen Wert für c ausgegenagen wird. Siehe dazu meine Antwort auf deine nächste Frage.
> für x setze ich P1 ein.
>
> also es folgt: HNF= ( [mm]1/\wurzel{150}[/mm] ) *(1, -10,
> [mm]7)*(5,5,5)-0/\wurzel{150}[/mm]
>
> HNF=( [mm]1/\wurzel{150}[/mm] )*(5,50,35)= - [mm]10/\wurzel{150}[/mm]
>
Na ja, ich weiß jetzt nicht so ganz, was du unter dem Kürzel HNF verstehst (es bedeutet: Hesse'sche* Normalenform und ist eine Ebenengleichung, keine Formel!). Meinst du die Formel zum Berechnen des Abstands Punkt-Ebene? Das ist eben nicht die HNF, sondern diese Formel verwendet dieselbe:
[mm]d\left ( P,E \right )= \frac{ \left\vert \vec{p}* \vec{n}-c \right\vert}{ \left\vert \vec{n} \right\vert}[/mm]
Und da stehen ja nicht umsonst Betragszeichen im Zähler, denn ein Abstand ist eine Länge und somit nichtnegativ.
Wenn du das beachtest, lautet die korrekte Rechnung samt Ergebnis:
[mm]d= \frac{ \left\vert 5*1-5*10+5*7-0 \right\vert}{\sqrt{150} }= \frac{10}{\sqrt{150} }= \frac{\sqrt{6}}{3}\approx{0.816}[/mm]
(Klicke auf die mathematischen Notationen, um die notwendigen LaTeX-Befehle zu sehen, mit denen sie erzeugt wurden).
Gruß, Diophant
* Nach dem deutschen Mathematiker ![[]](/images/popup.gif) Ludwig Otto Hesse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mi 20.06.2018 | | Autor: | Ataaga |
Hallo Diophant,
Aufgabenteil 1 habe ich verstanden.
Teil2 habe ich so aufgestellt:
(5,5,5)+r*(1,-10,7)=(1,1,1)+s*(2,3,4)+t*(-1,2,3)
und einfach nur Schnittpunkt errechnen ne?
habe ich das richtig gemacht?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo,
vorneweg: dein Abstand, den ich dir oben bestätigt hatte, ist noch falsch. Der Grund ist einfach: du hast die Konstante c mit dem Richtungsvektor [mm] (2,3,4)^T [/mm] berechnet, anstatt mit dem Punkt [mm] P_0 [/mm] (und ich hatte das auch übersehen). Daher hier die korrekte Rechnung noch nachgereicht:
[mm]\begin{aligned}
c&= \vektor{1 \\ 1 \\ 1}* \vektor{1 \\ -10 \\ 7}=1-10+7=-2\\
\\
d&= \frac{ \left\vert 5-50+35+2 \right\vert}{\sqrt{150}}= \frac{8}{\sqrt{150}}= \frac{4}{15}\sqrt{6}\\
\end{aligned}[/mm]
So, nun zu deiner Frage:
> Aufgabenteil 1 habe ich verstanden.
>
> Teil2 habe ich so aufgestellt:
> (5,5,5)+r*(1,-10,7)=(1,1,1)+s*(2,3,4)+t*(-1,2,3)
> und einfach nur Schnittpunkt errechnen ne?
> habe ich das richtig gemacht?
Nun, du hast noch nichts 'gemacht'. sondern nur einen Ansatz, nämlich aus dem Gleichsetzen der beiden Parameterformen ein LGS aufzustellen. Das ist richtig so (ich hatte dir in meiner ersten Antwort schon geschrieben, was ein Durchstoßpunkt ist, von daher sollte das eigentlich schon klar sein).
Allerdings: deine Vorgehensweise hier ist frei nach dem Motto 'warum einfach, wenn es auch umständlich geht' gewählt. Wenn man nämlich den Normalenvektor einer Ebene schon kennt, dann hat man ja damit sofort auch eine Koordinatenform der Ebene:
[mm]E:\ \ x_1-10x_2+7x_3=-2[/mm]
In diese Gleichung kannst du die Geradengleichung
[mm]g:\ \ \vec{x}=\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}=\vektor{5 \\ 5 \\ 5}+r*\vektor{1 \\ -10 \\ 7}[/mm]
einsetzen. So bekommst du eine lineare Gleichung in einer Variablen anstelle eines 3x3-LGS. Aber natürlich sind beide Vorgehensweisen richtig.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:48 Mi 20.06.2018 | | Autor: | Ataaga |
Hallo Diophant,
vielen Dank für deine Unterstützung...
Ich habe jetzt alles verstanden.....
Beste Grüße
|
|
|
|
