Abstand eines Untervektorraums vom R^4 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 So 27.06.2004 | | Autor: | luck0r |
Ich soll den beliebigen Abstand eines durch 2 Vektoren erzeugten UVRs vom [mm] R^4 [/mm] berechnen, weiss aber überhaubt nicht, wo ich ansetzen soll.
Vielleicht kann mir ja jemand durch ein geschicktes Beispiel weiterhelfen, ich würde mich sehr freuen.
Die Aufgabe:
Im euklidischen Standardraum [mm] R^4 [/mm] seien die Vektoren
[mm]
u1:=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
u2:=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}
[/mm]
gegeben. Es sei U der von u1, u2 erzeugte Untervektorraum.
Berechnen Sie für beliebiges x [mm] \in R^4 [/mm] den Abstand d(x,U).
Grüße
luck0r
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 So 27.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Zunächst müssen wir in $U$ einmal eine Orthonormalbasis $(\tilde{u}_1},\tilde{u}_2)$ finden (nach Gram-Schmidt).
Es gilt:
$\tilde{u}_1 = \frac{1}{\Vert u_1 \Vert} u_1 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\1 \\ 1 \end{pmatrix}$
und
$\tilde{u}'_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - < \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} > \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$= \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}$,
$\tilde{u}_2 = \frac{\tilde{u}'_2}{\Vert \tilde{u}'_2 \Vert}$.
Es sei nun $x \in \IR^4$ beliebig vorgegeben. Dann ist die orthogonale Projektion von $x$ auf $U$ bekanntlich gegeben durch
(*) $P_U(x):= <x,\tilde{u}_1> \tilde{u}_1 + <x,\tilde{u}_2> \tilde{u}_2$
und der Abstand von $x$ zu $U$ ist entsprechend:
(**) $d(x,U)= \Vert x - P_U(x)\Vert$.
Jetzt kannst du ja noch $\tilde{u}_1$ und $\tilde{u}_2$ in (*) und das Ergebnis $P_U(x)$ dann noch in (**) einsetzen und du bist fertig. 
Melde dich bitte mit einem Lösungsvorschlag oder bei weiteren Fragen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 Mo 28.06.2004 | | Autor: | luck0r |
vielen Dank, du hast mir den Abend gerettet :P
Wenn ich [mm] $\tilde{u}_2$ [/mm] noch normiere und bisserl rechne komme ich dann auf:
[mm] d(x,U)= \Vert x - \pi_U(x)\Vert =
\Vert \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} - (\frac{1}{4}x_1+\frac{1}{4}x_2+\frac{1}{4}x_3+\frac{1}{4}x_4) * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\1 \\ 1 \end{pmatrix} -(\frac{3}{20}x_1 - \frac{1}{20}x_2 + \frac{1}{20}x_3 + \frac{3}{20}x_4) * \begin{pmatrix} -3 \\ - 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \Vert [/mm]
Wäre korrekt, wenn das noch kurz jemand verifizieren könnte :)
Grüße und nochmal vielen Dank
luck0r
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