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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 23:55 Mo 23.08.2004 | | Autor: | Stefan |
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Es gibt keine zwei verschiedene Punkte [mm] $(a,b),\, [/mm] (c,d) [mm] \in \IZ \times \IZ$ [/mm] (also Punkte auf dem ganzzahligen Gitter der Ebene), die zum Punkt [mm] $(\sqrt{2},\frac{1}{3})$ [/mm] den gleichen Abstand besitzen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Di 24.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Angenommen, es existierten zwei Punkte $(a,b),(c,d) [mm] \in \IZ \times \IZ$, [/mm] die denselben Abstand zu [mm] $(\wurzel{2},\bruch{1}{3})$ [/mm] hätten.
Dann würde gelten müssen:
[mm] $\wurzel{|a-\wurzel{2}|^2 + |b-\bruch{1}{3}|^2} [/mm] = [mm] \wurzel{|c-\wurzel{2}|^2 + |d-\bruch{1}{3}|^2}$
[/mm]
Da beide Seiten positiv sind (und die Radikanten durch die Wurzel auch positiv sein müssen) kann man sagen:
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $a^2 [/mm] - [mm] 2\wurzel{2}a [/mm] + [mm] b^2 -\bruch{2}{3}b [/mm] = [mm] c^2 [/mm] - [mm] 2\wurzel{2}c [/mm] + [mm] d^2 -\bruch{2}{3}d$
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $(a^2-c^2) [/mm] - [mm] 2\wurzel{2}(a-c) [/mm] + [mm] (b^2 [/mm] - [mm] d^2) [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}(b-d) [/mm] = 0$
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $(a-c)*((a+c)-2\wurzel{2}) [/mm] + [mm] (b-d)*((b+d)-\bruch{2}{3}) [/mm] = 0$
Daraus ergibt sich (ausser, dass der zweite Summand das additive Inverse zum ersten Summanden sein könnte, dazu später mehr), dass gilt:
$a = c$ oder $a+c = [mm] 2\wurzel{2}$ [/mm] und $b = d$ oder $b+d = [mm] \bruch{2}{3}$
[/mm]
Da die ganzen Zahlen eine additive Gruppe bilden und Selbstabbildung eine der Voraussetzungen für eine Gruppe ist, kann der jeweils zweite Fall ausgeschlossen werden (Widerspruch zu $(a,b),(c,d) [mm] \in \IZ \times \IZ$) [/mm] und es gilt
$a=c$ und $b=d$, womit die Punkte gleich sein müssen.
Der oben angesprochene Fall, dass der zweite Summand additives Inverses des ersten Summanden ist, kann aus den selben Gründen nicht auftreten, da der erste Summand wegen $(a,b) [mm] \in \IZ \time \IZ$ [/mm] und [mm] $\wurzel{2}$ [/mm] irrational, der zweite Summand jedoch rational ist und die Rationalen Zahlen sogar einen Körper bilden.
greetz
AT-Colt
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Wirklich toll.
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Super! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
