Abstand von Punkt/Gerade R^3 < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Di 26.01.2010 | | Autor: | jaktens |
| Aufgabe | Ich habe keine Aufgabe gestellt bekommen, mir ist nur folgendes aufgefallen:
Wenn ich das Vektorprodukt zweier Vektoren [mm] \vec{a}\times\vec{b} [/mm] berechne, erzeuge ich einen Vektor [mm] \vec{c}, [/mm] der orthogonal zu [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] steht sowie dessen Länge die Flächengröße eines Parallelogramms mit den Seiten [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] ist. |
Ich hab einfach mal folgenden Ansatz versucht:
Gegeben ist
[mm] g:\vec{x}= \vektor{1 \\ 2 \\ 2 }+ r*\vektor{-1 \\ 3 \\ 2 } [/mm] und Punkt P(-1/4/5)
Nun habe ich das Kreuzprodukt des Richtungsvektor und des Verbindungsvektor vom Stützvektor der Geraden zu dem Punkt P gebildet, den Betrag berechnet und durch den Betrag des Richtungsvektors dividiert.
Das Ergebnis war der Abstand d des Punktes P zur Geraden g!!
Hab leider keine Zeichenprogramm, sonst würde ich ne Ansicht erstellen, hier das ganze mal hingeschrieben:
[mm] d=\bruch{|\vektor{-1 \\ 3 \\ 2 }\times(\vektor{-1 \\ 4 \\ 5 }-\vektor{1 \\ 2 \\ 2 })|}{|\vektor{-1 \\ 3 \\ 2 }|}
[/mm]
[mm] d=\bruch{|\vektor{-1 \\ 3 \\ 2 }\times\vektor{-2 \\ 2 \\ 3 }|}{|\vektor{-1 \\ 3 \\ 2 }|}
[/mm]
[mm] d=\bruch{|\vektor{-5 \\ 1 \\ -4 }|}{|\vektor{-1 \\ 3 \\ 2 }|}
[/mm]
[mm] d=\bruch{\wurzel{42}}{\wurzel{14}} [/mm] = [mm] \wurzel{3}*\bruch{\wurzel{14}}{\wurzel{14}}
[/mm]
[mm] d=\wurzel{3}
[/mm]
Hab mittlerweile 5 unterschiedliche Aufgaben durchgerechnet und komme immer auf die richtigen Ergebnisse (auch wenn es sich nicht um ein Parallelogramm sondern um ein Quadrat handelt).
Meine Frage ist nun folgende: Ist dieser Ansatz richtig und wenn ja, könnte mir mal jemand einen kleinen Stoß auf einen erfolgversprechenden Weg zur Beweisführung (für nen Anfänger!)geben??
|
|
| |
|
Hallo!
Es gibt noch einen anderen Zusammenhang mit dem Vektorprodukt:
[mm] |\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin(\angle \vec{a},\vec{b})
[/mm]
Sei jetzt [mm] \vec{a} [/mm] der Verbindungsvektor zwischen dem Stützvektor und dem Punkt und [mm] \vec{b} [/mm] der Richtungsvektor.
Wenn du eine Verbindung c durch den Punkt und senkrecht durch die Grade ziehst, bekommst du ein rechtwinkliges Dreieck, und die Länge c berechnet sich aus
[mm] \frac{c}{|\vec{a}|}=\sin(\angle \vec{a},\vec{b})
[/mm]
[mm] c=|\vec{a}|\sin(\angle \vec{a},\vec{b})
[/mm]
Und wenn du das mit der ersten Formel vergleichst, kommt das tatsächlich so hin!
|
|
|
|
