Abstand windschiefer Geraden < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich habe ein Problem mit dem Spatprodukt:
Ich weiß, dass es eine Kombination aus Vektor und Skalarprodukt ist. Ich weiß auch das es zur Volumenberechnung verwendet wird. Wie man jedoch mit dem Spatprodukt den Abstand zweier Windschiefer Geraden berechnet weiß ich nicht m. Kann es mir vielleicht jemand an einen Beispiel erklären?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:18 Fr 03.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
der Abstand windschiefer Geraden berechnet sich wie folgt
[mm] \left|\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)*\bruch{\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}}{\left|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right|}\right|
[/mm]
s. ![[]](/images/popup.gif) hier
Daraus kannst Du den Zusammenhang mit dem Spatprodukt erkennen.
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> Hi,
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> der Abstand windschiefer Geraden berechnet sich wie folgt
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> [mm]\left|\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)*\bruch{\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}}{\left|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right|}\right|[/mm]
>
> s. hier
>
> Daraus kannst Du den Zusammenhang mit dem Spatprodukt
> erkennen.
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Hallo Danke erst Mal. Das das Kreuzptodukt mit drin ist versteh ich aber wie und warum das gesamte Spatprodukt ist mir noch nicht klar. Vielleicht gibt es irgendwo ein Beispiel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 Fr 03.01.2014 | | Autor: | abakus |
> > Hi,
> >
> > der Abstand windschiefer Geraden berechnet sich wie folgt
> >
> >
> [mm]\left|\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)*\bruch{\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}}{\left|\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{w}\right|}\right|[/mm]
> >
> > s. hier
> >
> > Daraus kannst Du den Zusammenhang mit dem Spatprodukt
> > erkennen.
> >
>
> Hallo Danke erst Mal. Das das Kreuzptodukt mit drin ist
> versteh ich aber wie und warum das gesamte Spatprodukt ist
> mir noch nicht klar. Vielleicht gibt es irgendwo ein
> Beispiel?
>
siehe https://matheraum.de/read?t=1000660
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Fr 03.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> Ich habe ein Problem mit dem Spatprodukt:
>
> Ich weiß, dass es eine Kombination aus Vektor und
> Skalarprodukt ist. Ich weiß auch das es zur
> Volumenberechnung verwendet wird. Wie man jedoch mit dem
> Spatprodukt den Abstand zweier Windschiefer Geraden
> berechnet weiß ich nicht m. Kann es mir vielleicht jemand
> an einen Beispiel erklären?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
skizziere dir einen Spat mit der Grundfläche ABCD und der Deckfläche EFGH.
Für das Volumen gilt V=Grundfläche mal Höhe,
wobei die Höhe der Abstand zwischen den Flächen ABCD und EFGH sein soll.
Umgekehrt kann man h berechnen, wenn man V (aus dem Spatprodukt) und die Grundfläche ABCD (aus dem Betrag des Vektorprodukts) kennt.
Betrachte dir nun die Kanten AB und EH. Sie sind zueinander windschief, weil sie
-nicht zueinander parallel sind (parallel wären AB und EF, aber eben nicht AB und EH)
und
-weil sie sich nicht schneiden können, denn sie liegen in zwei verschiedenen Ebenen (in der Grundfläche/in der Deckfläche).
Der Abstand dieser windschiefen Kanten ist damit gerade der Abstand dieser beiden Parallelebenen und kann mit [mm] h=V/$A_g$ [/mm] berechnet werden.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:29 Fr 03.01.2014 | | Autor: | Simba4Tips |
Hallo,
danke, können wir das vielleicht Mal Schritt für Schritt an einen Beispiel durchrechnen? Damit ich ganz genau weiß wie ich Zukunft vorgehen soll.
Ich habe auch eine Beispielaufgabe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Fr 03.01.2014 | | Autor: | ullim |
Hi,
dann poste die Aufgabe mal.
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Ich habe folgende Geraden:
g:x x=(0/1/2)+r (1/1/3)
h:x: x= (0/3/5)+r(1/2/2)
welche Formel nehme ich am besten zum Rechnen und wie muss ich vorgehen?
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Hallo Simba4Tips,
> Ich habe folgende Geraden:
>
> g:x x=(0/1/2)+r (1/1/3)
> h:x: x= (0/3/5)+r(1/2/2)
>
> welche Formel nehme ich am besten zum Rechnen und wie muss
> ich vorgehen?
>
Zunächst ist für eine der Geraden ein anderer Parameter zu wählen.
Dann kannst Du den Abstandsvektor [mm]\vec{d}[/mm] als g-h berechnen.
Dieser Abstandsvektor muss senkrecht
auf beiden Richtungsvektoren stehen , d.h.
senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden g
und senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden h.
Das ergibt dann ein Gleichungssystem
für die beiden gesuchten Parameter.
Die Lösung dieses Gleichungssystems
setzt Du nun in den Abstandsvektor ein.
Der Betrag davon ist dann der Abstand dieser beiden Geraden.
Gruss
MathePower
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Danke. Ich möchte aber das Spatprodukt zur Abstandsberechnung benutzen wie mache ich das am besten?
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Hallo Simba4Tips,
> Danke. Ich möchte aber das Spatprodukt zur
> Abstandsberechnung benutzen wie mache ich das am besten?
Bestimme zunächst einen Vektor [mm]\vec{n}[/mm],
der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Geraden steht.
Berechne dann den Differenzvektor der Aufpunkte der beiden Geraden.
Dieser Differenzvektor skalar multipliziert mit dem Vektor [mm]\vec{n}[/mm]
dividiert durch den Betrag dieses Vektors ergibt dann den
orientierten Abstand.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 So 05.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo Simba4Tips,
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> > Danke. Ich möchte aber das Spatprodukt zur
> > Abstandsberechnung benutzen wie mache ich das am besten?
>
>
> Bestimme zunächst einen Vektor [mm]\vec{n}[/mm],
> der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Geraden
> steht.
>
> Berechne dann den Differenzvektor der Aufpunkte der beiden
> Geraden.
>
> Dieser Differenzvektor skalar multipliziert mit dem Vektor
> [mm]\vec{n}[/mm]
> dividiert durch den Betrag dieses Vektors ergibt dann den
> orientierten Abstand.
>
>
> Gruss
> MathePower
Hallo MathePower,
das ist ein mögliches Vorgehen, beantwortet aber leider die konkrete Frage (wie berechnet man den gesuchten Abstand mit dem Spatrodukt) nicht.
Gruß Abakus
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Hallo Abakus kannst du mir denn meine Frage beantworten?
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Hallo Simba4Tips,
> Hallo Abakus kannst du mir denn meine Frage beantworten?
Sind die Geraden in der Form
[mm]g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p_{1}}+s*\overrightarrow{r_{1}}[/mm]
[mm]h:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p_{2}}+t*\overrightarrow{r_{2}}[/mm]
gegeben, so ergibt sich deren Abstand d
unter Anwendung des Spatproduktes zu
[mm]d=\bruch{\vmat{<\left(\overrightarrow{p_{2}}-\overrightarrow{p_{1}}\right), \ \overrightarrow{r_{1}} \times \overrightarrow{r_{2}}>}}{\vmat{\overrightarrow{r_{1}} \times \overrightarrow{r_{2}}}}[/mm]
,wobei [mm]<\left(\overrightarrow{p_{2}}-\overrightarrow{p_{1}}\right), \ \overrightarrow{r_{1}} \times \overrightarrow{r_{2}}>[/mm] das sogenannte Spatprodukt ist.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 So 05.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus kannst du mir denn meine Frage beantworten?
Das habe ich im Prinzip schon.
Der Richtungsvektor der ersten Geraden,
der Richtungsvektor der zweiten Geraden
und
der Vektor vom Stützpunkt der einen Geraden zum Stützpunkt der anderen Geraden
sind drei Vektoren entlang von Kanten eines Spats (sie spannen einen Spat auf).
Das Volumen des Spats erhälst du mit dem Spatprodukt, und das teilst du durch die Grundfläche (die erhältst du mit dem Betrag des Vektorprodukts der beiden Richtungsvektoren).
Gruß Abakus
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Ich versteh das so wirklich nicht. Ich brauche bitte ein konkretes Rechenbeispiel deshalb have ich ja auch die Aufgabe siehe ganz oben hin geschrieben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 So 05.01.2014 | | Autor: | chrisno |
Du hast die beiden Geradengleichungen angegeben:
g: [mm] $\vec{x}=\vektor{0 \\ 1 \\ 2}+r \vektor{1 \\ 1 \\ 3}$
[/mm]
h: [mm] $\vec{x}=\vektor{0 \\ 3 \\ 5}+r \vektor{1 \\ 2 \\ 2}$
[/mm]
Gib an:
- den Stützvektor von g,
- den Stützvektor von h,
- den Richtungsvektor von g und
- den Richtungsvektor von h.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 So 05.01.2014 | | Autor: | Simba4Tips |
Richtungsvektor g:(0/1/2)
Stützvektor (0/1/3)
Richtungsvektor h: (0/3/5)
Stützvektor (1/2/3)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:14 So 05.01.2014 | | Autor: | Simba4Tips |
Korrektur Stützvektor h: (1/2/2)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 So 05.01.2014 | | Autor: | Simba4Tips |
Wie rechne ich jetzt mit dem Spatprodukt den Abstand aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 So 05.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Antworten erwünscht !
https://matheraum.de/read?t=1000660
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hier wird das gut erklärt
http://www.youtube.com/watch?v=o__H_Ktf7B8
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