Abstand windschiefer Geraden < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Mo 18.10.2004 | | Autor: | ramoso |
Hallo Leute !
Was fällt euch so ganz spontan zum Thema "Abstand von windschiefen Geraden " ein ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Sehr präzise formulierte Frage...
Du willst sicher ne Methode zum Bestimmen wissen.
Da antworte ich, ganz gemäß meiner Signatur, viele Wege führen nach Thalheim! (Wo immer das liegen mag, aber das spielt jetzt keine Rolle)
Die vielleicht intuitivste ist:
seinen g, h windschiefe Geraden
Dann nimmst Du einen Vektor, sagen wir v, der von irgendeinem Punkt aug g zu irgendeinem Punkt auf h. Dann findest Du das Paar von Parametern, für das v*u und v*w (u,w Richtungsvektoren von g,h) =0 ist. Dann rechnest Du den Betrag dieses Vektors aus und erhältst den "Abstand" von g und h. Genausogut kannst Du aber den Betrag von v direkt ausrechnen und das Parameterpaar herausfinden, für das |v| minimal wird.
Ich hoffe, das ist einigermaßen, wonach Du gesucht hast, ein Beispiel werde ich noch anfügen,
Gruß
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Christian |
Hier das versprochene Beispiel.
Keine schönen Zahlen, aber man sieht die Vorgehensweise ganz gut
Sei
[mm]g: \vektor{3 \\ 1 \\ 4}*t[/mm] und
[mm]h: \vektor{3 \\ 1 \\ 4}*s+\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Wie man sieht, sind g und h windschief (the proof is left to the reader).
Nun "bauen" wir einen Vektor v von irgendeinem Punkt auf g zu irgendeinem anderen in h:
[mm]\vec{v} = \vektor{3 \\ 1 \\ 4}*t-\vektor{2 \\ 1 \\ 4}*s-\vektor{1 \\ 0 \\ 1}=\vektor{3t-2s-1 \\ t-s \\ 4t-4s-1}[/mm]
Nun muß, da man so etwas wie einen Abstand immer senkrecht mißt, dieser unser "Abstandsvektor" senkrecht zu beiden Geraden sein, dann hat er gerade den geringsten Betrag, nämlich den "Abstand" von g und h.
Also muß
[mm]\vec{v}*\vektor{3 \\ 1 \\ 4}=0[/mm], sowie
[mm]\vec{v}*\vektor{2 \\ 1 \\ 4}=0[/mm]
sein. Wobei hier das Skalarprodukt gemeint sein soll.
Das führt uns auf folgendes Gleichungssystem
26t-23s-2=0
23t-21s-6=0,
welches die Lösung
s=-110/17 und t=-96/17 hat.
Dies setzen wir in unser v ein und erhalten den Vektor, an dem wir sozusagen den Zollstock zum Abstand messen anlegen müssen:
[mm]\vec{v}* = \vektor{-5 \\ \bruch{14} {17} \\ \bruch{39} {17}}[/mm]
Nun müssen wir nur noch von unserem Zollstock oder Metermaß oder wie auch immer ablesen, dh., den Betrag von v* berechnen und erhalten den Abstand von g und h:
=> [mm] d(g;h)=|\vec{v}*|=\bruch{1} {17}\wurzel{8942} \approx [/mm] 5.56.
Für durch (im Servicepreis bereits enthaltene) Rechenfehler und evtl. entstehende Folgeschäden kann leider keine Haftung übernommen werden. *g*
Gruß,
Christian
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