Abstand windschiefer Geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | g= [1;-2;4] + t * [2;4;3] und P (3/2/0)
Bestimmen Sie alle Geraden h durch P, welche windschief zu g sind und von g den Abstand 6 haben.
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Hallo,
ich habe ziemliche Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe.
Also eigentlich kann man ja P als Stützvektor nehmen, aber man hat keinen Richtungsvektor für h. Angenommen, R ist der gesuchte Punkt auf h dann bildet man PR (ausgedrückt durch die Geradengleichungen), aber mein TI kann nicht nach den Variablen auflösen, weil der Richtungsvektor fehlt, auch wenn man angibt, dass der Betrag von PR=6 ist.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
By the way, wir hatten noch keinen Normalenvektor, ich hoffe es geht auch ohne.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=356932
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 So 07.09.2008 | | Autor: | weduwe |
> g= [1;-2;4] + t * [2;4;3] und P (3/2/0)
>
> Bestimmen Sie alle Geraden h durch P, welche windschief zu
> g sind und von g den Abstand 6 haben.
>
> Hallo,
> ich habe ziemliche Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe.
>
> Also eigentlich kann man ja P als Stützvektor nehmen, aber
> man hat keinen Richtungsvektor für h. Angenommen, R ist der
> gesuchte Punkt auf h dann bildet man PR (ausgedrückt durch
> die Geradengleichungen), aber mein TI kann nicht nach den
> Variablen auflösen, weil der Richtungsvektor fehlt, auch
> wenn man angibt, dass der Betrag von PR=6 ist.
>
> Kann mir da jemand weiterhelfen?
> By the way, wir hatten noch keinen Normalenvektor, ich
> hoffe es geht auch ohne.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=356932
und dort steht auch die antwort
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Aber ich habe keine Ahnung, was da genau gerechnet wird.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 So 07.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schreib die die Gerade mal als Punktmenge auf.
Also:
[mm] \vec{x_{t}}=\vektor{1\\-2\\4}+t\vektor{2\\4\\3}=\vektor{1+2t\\4t-2\\4+3t}
[/mm]
Und jetzt berechen mal die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{X_{t}P} [/mm] mit [mm] P=\vektor{3\\2\\0}
[/mm]
Also:
[mm] \overrightarrow{X_{t}P} =\vektor{3\\2\\0}-\vektor{1+2t\\4t-2\\4+3t}
[/mm]
[mm] =\vektor{\red{2-2t}\\\green{4-4t}\\\blue{-4-3t}}
[/mm]
Also:
[mm] |\overrightarrow{X_{t}P}|=\wurzel{(\red{2-2t})²+(\green{4-4t})²+(\blue{-4-3t})²}
[/mm]
Daraus bestimmst du jetzt per Extremwertbestimmung das Minimum (für t), und damit kannst du dann den Punkt mit minimalem Abstand berechnen.
Marius
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> g= [1;-2;4] + t * [2;4;3] und P (3/2/0)
>
> Bestimmen Sie alle Geraden h durch P, welche windschief zu
> g sind und von g den Abstand 6 haben.
>
> Hallo,
> ich habe ziemliche Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe.
>
> Also eigentlich kann man ja P als Stützvektor nehmen, aber
> man hat keinen Richtungsvektor für h. Angenommen, R ist der
> gesuchte Punkt auf h dann bildet man PR (ausgedrückt durch
> die Geradengleichungen), aber mein TI kann nicht nach den
> Variablen auflösen, weil der Richtungsvektor fehlt, auch
> wenn man angibt, dass der Betrag von PR=6 ist.
>
> Kann mir da jemand weiterhelfen?
Ein grundlegendes Problem mit dieser Aufgabe ist, dass der Punkt $P$ einen Abstand von $g$ hat, der bereits kleiner als $6$ ist. Genauer: [mm] $d(P,g)\approx [/mm] 5.8$. Also gibt es keine Geraden $h$ durch $P$ mit Abstand $6$ von $g$.
Aber man kann sich natürlich fragen, wie eine solche Aufgabe zu lösen wäre, wenn der Abstand $d(P,g)$ von $P$ von $g$ gleich $6$ oder, zweite Möglichkeit, grösser als $6$ wäre.
Der Fall $d(P,g)=6$ wäre leicht zu behandeln: alle Geraden durch $P$ und senkrecht zum Lot von $P$ auf $g$ (aber nicht parallel) zu $g$ wären Lösungen.
Der Fall $d(P,g)>6$ erscheint problematischer. Im Prinzip müssen die gesuchten Geraden Tangenten von $P$ an den Kreiszylinder mit Radius $6$ und Achse $g$ sein: Du könntest also versuchen, einen Ansatz für die gesuchten Geraden $h$ zu machen, indem Du $P$ als Stützpunkt von $h$ wählst und den Richtungsvektor von $h$ als noch zu bestimmende Grösse behandeltst.
Der Abstand $d(g,h)$ zweier Geraden $g$ und $h$ lässt sich dann mit Hilfe des sogenannten Spatproduktes in algebraische Form bringen (und diese wäre entsprechend leicht der solve-Funktion des TI-Taschenrechners einzugeben), aber ich fürchte, dass, wenn Du noch nichts über "Normalenvektoren" gehabt hast, auch das Spatprodukt vorläufig tabu ist.
Nachtrag (2. Revision): Ein anderer Weg für diesem Fall $d(P,g)>6$ wäre: Die gesuchten Geraden $h$ liegen in den beiden Tangentialebenen durch $P$ an den Kreiszylinder mit Achse $g$ und Radius $6$. Du müsstest also erst einmal die Normalenvektoren dieser beiden Tangentialebenen bestimmen und dann den Richtungsvektor von $h$ einfach senkrecht dazu wählen. Oder: Du könntest die beiden Berührmantellinien dieser Tangentialebenen bestimmen. Die Richtungsvektoren für $h$ würden dann durch die Vektoren von $P$ zu einem Punkt einer dieser beiden Berührmantellinien gebildet.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 So 07.09.2008 | | Autor: | weduwe |
> > g= [1;-2;4] + t * [2;4;3] und P (3/2/0)
> >
> > Bestimmen Sie alle Geraden h durch P, welche windschief zu
> > g sind und von g den Abstand 6 haben.
> >
> > Hallo,
> > ich habe ziemliche Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe.
> >
> > Also eigentlich kann man ja P als Stützvektor nehmen, aber
> > man hat keinen Richtungsvektor für h. Angenommen, R ist der
> > gesuchte Punkt auf h dann bildet man PR (ausgedrückt durch
> > die Geradengleichungen), aber mein TI kann nicht nach den
> > Variablen auflösen, weil der Richtungsvektor fehlt, auch
> > wenn man angibt, dass der Betrag von PR=6 ist.
> >
> > Kann mir da jemand weiterhelfen?
>
> Ein grundlegendes Problem mit dieser Aufgabe ist, dass der
> Punkt [mm]P[/mm] einen Abstand von [mm]g[/mm] hat, der bereits kleiner als [mm]6[/mm]
> ist. Genauer: [mm]d(P,g)\approx 5.8[/mm]. Also gibt es keine Geraden
> [mm]h[/mm] durch [mm]P[/mm] mit Abstand [mm]6[/mm] von [mm]g[/mm].
>
> Aber man kann sich natürlich fragen, wie eine solche
> Aufgabe zu lösen wäre, wenn der Abstand [mm]d(P,g)[/mm] von [mm]P[/mm] von [mm]g[/mm]
> gleich [mm]6[/mm] oder, zweite Möglichkeit, grösser als [mm]6[/mm] wäre.
>
> Der Fall [mm]d(P,g)=6[/mm] wäre leicht zu behandeln: alle Geraden
> durch [mm]P[/mm] und senkrecht zum Lot von [mm]P[/mm] auf [mm]g[/mm] (aber nicht
> parallel) zu [mm]g[/mm] wären Lösungen.
>
> Der Fall [mm]d(P,g)>6[/mm] erscheint problematischer. Im Prinzip
> müssen die gesuchten Geraden Tangenten von [mm]P[/mm] an den
> Kreiszylinder mit Radius [mm]6[/mm] und Achse [mm]g[/mm] sein: Du könntest
> also versuchen, einen Ansatz für die gesuchten Geraden [mm]h[/mm] zu
> machen, indem Du [mm]P[/mm] als Stützpunkt von [mm]h[/mm] wählst und den
> Richtungsvektor von [mm]h[/mm] als noch zu bestimmende Grösse
> behandeltst.
> Der Abstand [mm]d(g,h)[/mm] zweier Geraden [mm]g[/mm] und [mm]h[/mm] lässt sich dann
> mit Hilfe des sogenannten Spatproduktes in algebraische
> Form bringen (und diese wäre entsprechend leicht der
> solve-Funktion des TI-Taschenrechners einzugeben), aber ich
> fürchte, dass, wenn Du noch nichts über "Normalenvektoren"
> gehabt hast, auch das Spatprodukt vorläufig tabu ist.
>
> Nachtrag (2. Revision): Ein anderer Weg für diesem Fall
> [mm]d(P,g)>6[/mm] wäre: Die gesuchten Geraden [mm]h[/mm] liegen in den beiden
> Tangentialebenen durch [mm]P[/mm] an den Kreiszylinder mit Achse [mm]g[/mm]
> und Radius [mm]6[/mm]. Du müsstest also erst einmal die
> Normalenvektoren dieser beiden Tangentialebenen bestimmen
> und dann den Richtungsvektor von [mm]h[/mm] einfach senkrecht dazu
> wählen. Oder: Du könntest die beiden Berührmantellinien
> dieser Tangentialebenen bestimmen. Die Richtungsvektoren
> für [mm]h[/mm] würden dann durch die Vektoren von [mm]P[/mm] zu einem Punkt
> einer dieser beiden Berührmantellinien gebildet.
>
genau dahin wollte ich dich führen, als ich geschrieben habe, ist denn [mm] L=\{\} [/mm] ?
sinnvollerweise bestimmt man zuerst den abstand des punktes P von der geraden, und das kann man auch mit hilfe der analysis.
da [mm]d<6 \to L=\{\}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 So 07.09.2008 | | Autor: | Somebody |
> > > g= [1;-2;4] + t * [2;4;3] und P (3/2/0)
> > >
> > > Bestimmen Sie alle Geraden h durch P, welche windschief zu
> > > g sind und von g den Abstand 6 haben.
> > >
> > > Hallo,
> > > ich habe ziemliche Schwierigkeiten bei dieser
> Aufgabe.
> > >
> > > Also eigentlich kann man ja P als Stützvektor nehmen, aber
> > > man hat keinen Richtungsvektor für h. Angenommen, R ist der
> > > gesuchte Punkt auf h dann bildet man PR (ausgedrückt durch
> > > die Geradengleichungen), aber mein TI kann nicht nach den
> > > Variablen auflösen, weil der Richtungsvektor fehlt, auch
> > > wenn man angibt, dass der Betrag von PR=6 ist.
> > >
> > > Kann mir da jemand weiterhelfen?
> >
> > Ein grundlegendes Problem mit dieser Aufgabe ist, dass der
> > Punkt [mm]P[/mm] einen Abstand von [mm]g[/mm] hat, der bereits kleiner als [mm]6[/mm]
> > ist. Genauer: [mm]d(P,g)\approx 5.8[/mm]. Also gibt es keine Geraden
> > [mm]h[/mm] durch [mm]P[/mm] mit Abstand [mm]6[/mm] von [mm]g[/mm].
> >
> > Aber man kann sich natürlich fragen, wie eine solche
> > Aufgabe zu lösen wäre, wenn der Abstand [mm]d(P,g)[/mm] von [mm]P[/mm] von [mm]g[/mm]
> > gleich [mm]6[/mm] oder, zweite Möglichkeit, grösser als [mm]6[/mm] wäre.
> >
> > Der Fall [mm]d(P,g)=6[/mm] wäre leicht zu behandeln: alle Geraden
> > durch [mm]P[/mm] und senkrecht zum Lot von [mm]P[/mm] auf [mm]g[/mm] (aber nicht
> > parallel) zu [mm]g[/mm] wären Lösungen.
> >
> > Der Fall [mm]d(P,g)>6[/mm] erscheint problematischer. Im Prinzip
> > müssen die gesuchten Geraden Tangenten von [mm]P[/mm] an den
> > Kreiszylinder mit Radius [mm]6[/mm] und Achse [mm]g[/mm] sein: Du könntest
> > also versuchen, einen Ansatz für die gesuchten Geraden [mm]h[/mm] zu
> > machen, indem Du [mm]P[/mm] als Stützpunkt von [mm]h[/mm] wählst und den
> > Richtungsvektor von [mm]h[/mm] als noch zu bestimmende Grösse
> > behandeltst.
> > Der Abstand [mm]d(g,h)[/mm] zweier Geraden [mm]g[/mm] und [mm]h[/mm] lässt sich
> dann
> > mit Hilfe des sogenannten Spatproduktes in algebraische
> > Form bringen (und diese wäre entsprechend leicht der
> > solve-Funktion des TI-Taschenrechners einzugeben), aber ich
> > fürchte, dass, wenn Du noch nichts über "Normalenvektoren"
> > gehabt hast, auch das Spatprodukt vorläufig tabu ist.
> >
> > Nachtrag (2. Revision): Ein anderer Weg für diesem Fall
> > [mm]d(P,g)>6[/mm] wäre: Die gesuchten Geraden [mm]h[/mm] liegen in den beiden
> > Tangentialebenen durch [mm]P[/mm] an den Kreiszylinder mit Achse [mm]g[/mm]
> > und Radius [mm]6[/mm]. Du müsstest also erst einmal die
> > Normalenvektoren dieser beiden Tangentialebenen bestimmen
> > und dann den Richtungsvektor von [mm]h[/mm] einfach senkrecht dazu
> > wählen. Oder: Du könntest die beiden Berührmantellinien
> > dieser Tangentialebenen bestimmen. Die
> Richtungsvektoren
> > für [mm]h[/mm] würden dann durch die Vektoren von [mm]P[/mm] zu einem
> Punkt
> > einer dieser beiden Berührmantellinien gebildet.
> >
>
> genau dahin wollte ich dich führen,
Mich? - Nein, mich nicht, aber vermutlich den Fragesteller.
> als ich geschrieben
> habe, ist denn [mm]L=\{\}[/mm] ?
>
> sinnvollerweise bestimmt man zuerst den abstand des
> punktes P von der geraden, und das kann man auch mit hilfe
> der analysis.
> da [mm]d<6 \to L=\{\}[/mm]
Ich habe dies auch gemacht und entsprechend darauf hingewiesen, dass es (bei diesen konkreten Zahlen) keine Lösung gibt.
Aber es könnte ja immerhin sein, dass der Fragesteller einen kleinen Fehler bei der Übermittlung der Aufgabe gemacht hat (eine einzige falsche Ziffer genügt): und schon hätte man doch etwas mehr zu rechnen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 So 07.09.2008 | | Autor: | weduwe |
> > > > g= [1;-2;4] + t * [2;4;3] und P (3/2/0)
> > > >
> > > > Bestimmen Sie alle Geraden h durch P, welche windschief zu
> > > > g sind und von g den Abstand 6 haben.
> > > >
> > > > Hallo,
> > > > ich habe ziemliche Schwierigkeiten bei dieser
> > Aufgabe.
> > > >
> > > > Also eigentlich kann man ja P als Stützvektor nehmen, aber
> > > > man hat keinen Richtungsvektor für h. Angenommen, R ist der
> > > > gesuchte Punkt auf h dann bildet man PR (ausgedrückt durch
> > > > die Geradengleichungen), aber mein TI kann nicht nach den
> > > > Variablen auflösen, weil der Richtungsvektor fehlt, auch
> > > > wenn man angibt, dass der Betrag von PR=6 ist.
> > > >
> > > > Kann mir da jemand weiterhelfen?
> > >
> > > Ein grundlegendes Problem mit dieser Aufgabe ist, dass der
> > > Punkt [mm]P[/mm] einen Abstand von [mm]g[/mm] hat, der bereits kleiner als [mm]6[/mm]
> > > ist. Genauer: [mm]d(P,g)\approx 5.8[/mm]. Also gibt es keine Geraden
> > > [mm]h[/mm] durch [mm]P[/mm] mit Abstand [mm]6[/mm] von [mm]g[/mm].
> > >
> > > Aber man kann sich natürlich fragen, wie eine solche
> > > Aufgabe zu lösen wäre, wenn der Abstand [mm]d(P,g)[/mm] von [mm]P[/mm] von [mm]g[/mm]
> > > gleich [mm]6[/mm] oder, zweite Möglichkeit, grösser als [mm]6[/mm] wäre.
> > >
> > > Der Fall [mm]d(P,g)=6[/mm] wäre leicht zu behandeln: alle Geraden
> > > durch [mm]P[/mm] und senkrecht zum Lot von [mm]P[/mm] auf [mm]g[/mm] (aber nicht
> > > parallel) zu [mm]g[/mm] wären Lösungen.
> > >
> > > Der Fall [mm]d(P,g)>6[/mm] erscheint problematischer. Im Prinzip
> > > müssen die gesuchten Geraden Tangenten von [mm]P[/mm] an den
> > > Kreiszylinder mit Radius [mm]6[/mm] und Achse [mm]g[/mm] sein: Du könntest
> > > also versuchen, einen Ansatz für die gesuchten Geraden [mm]h[/mm] zu
> > > machen, indem Du [mm]P[/mm] als Stützpunkt von [mm]h[/mm] wählst und den
> > > Richtungsvektor von [mm]h[/mm] als noch zu bestimmende Grösse
> > > behandeltst.
> > > Der Abstand [mm]d(g,h)[/mm] zweier Geraden [mm]g[/mm] und [mm]h[/mm] lässt
> sich
> > dann
> > > mit Hilfe des sogenannten Spatproduktes in algebraische
> > > Form bringen (und diese wäre entsprechend leicht der
> > > solve-Funktion des TI-Taschenrechners einzugeben), aber ich
> > > fürchte, dass, wenn Du noch nichts über "Normalenvektoren"
> > > gehabt hast, auch das Spatprodukt vorläufig tabu ist.
> > >
> > > Nachtrag (2. Revision): Ein anderer Weg für diesem Fall
> > > [mm]d(P,g)>6[/mm] wäre: Die gesuchten Geraden [mm]h[/mm] liegen in den beiden
> > > Tangentialebenen durch [mm]P[/mm] an den Kreiszylinder mit Achse [mm]g[/mm]
> > > und Radius [mm]6[/mm]. Du müsstest also erst einmal die
> > > Normalenvektoren dieser beiden Tangentialebenen bestimmen
> > > und dann den Richtungsvektor von [mm]h[/mm] einfach senkrecht dazu
> > > wählen. Oder: Du könntest die beiden Berührmantellinien
> > > dieser Tangentialebenen bestimmen. Die
> > Richtungsvektoren
> > > für [mm]h[/mm] würden dann durch die Vektoren von [mm]P[/mm] zu einem
> > Punkt
> > > einer dieser beiden Berührmantellinien gebildet.
> > >
> >
> > genau dahin wollte ich dich führen,
>
> Mich? - Nein, mich nicht, aber vermutlich den
> Fragesteller.
>
> > als ich geschrieben
> > habe, ist denn [mm]L=\{\}[/mm] ?
> >
> > sinnvollerweise bestimmt man zuerst den abstand des
> > punktes P von der geraden, und das kann man auch mit hilfe
> > der analysis.
> > da [mm]d<6 \to L=\{\}[/mm]
> Ich habe dies auch gemacht und
> entsprechend darauf hingewiesen, dass es (bei diesen
> konkreten Zahlen) keine Lösung gibt.
> Aber es könnte ja immerhin sein, dass der Fragesteller
> einen kleinen Fehler bei der Übermittlung der Aufgabe
> gemacht hat (eine einzige falsche Ziffer genügt): und schon
> hätte man doch etwas mehr zu rechnen...
>
>
natürlich meinte ich nicht dich, somebody, sondern die fragestellerin/ den fragesteller, da ich eine entsprechende frage/antwort bereits im anderen board gestellt/ gegeben hatte
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