Abstand windschiefer Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Es sein zwei windschiefe geraden gegeben, deren Abstand zu berechnen ist. Der Abstand soll auf 3 Möglichkeiten berechnet werden. |
Hallo,
haben das heute angefangen und sollen das zu Hause zu Ende machen. Die drei Möglichkeiten sind einmal das über die Differentialrechnung zu machen, dann über einen gemeinsamen Lot und dann über eine Möglichkeit mit dem Kreuzprodukt. Die ersten bedien Möglichkeiten sind soweit klar, bekomme auch die richtige Lösung dabei raus, jedoch komme ich bei der dritten nicht weiter.
Der Lehrer hat dazu nur angeschrieben:
[mm] \overrightarrow{PQ}=k*(\vektor{a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}}\times\vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}})
[/mm]
|
|
| |
|
> Es seien zwei windschiefe Geraden gegeben, deren Abstand zu
> berechnen ist. Der Abstand soll auf 3 Möglichkeiten
> berechnet werden.
> Hallo,
>
> haben das heute angefangen und sollen das zu Hause zu Ende
> machen. Die drei Möglichkeiten sind einmal das über die
> Differentialrechnung zu machen, dann über ein
> gemeinsames Lot und dann über eine Möglichkeit mit dem
> Kreuzprodukt. Die ersten bedien Möglichkeiten sind soweit
> klar, bekomme auch die richtige Lösung dabei raus, jedoch
> komme ich bei der dritten nicht weiter.
> Der Lehrer hat dazu nur angeschrieben:
> [mm]\overrightarrow{PQ}=k*(\vektor{a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}}\times\vektor{b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3}})[/mm]
Hallo matheschueler94,
was der Lehrer damit genau gemeint haben mag, ist
mir nicht klar. Falls du aber neben dem Vektorprodukt
auch das "gemischte Produkt" bzw. "Spatprodukt"
kennst, kann man damit eine geschlossene Formel
herleiten. Die Richtungsvektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] der beiden
Geraden spannen ein Parallelogramm auf, zusammen
mit dem Verbindungsvektor [mm] \vec{c}=\overrightarrow{PQ} [/mm] der beiden
Stützpunkte P und Q einen Spat. Der gesuchte Abstand
der windschiefen Geraden entspricht einer Höhe des
Spats. Wenn man dann an die Volumenformel
[mm] $\text{Volumen = Grundfläche x Höhe}$
[/mm]
denkt, ist der Weg zu einer Abstandsformel nicht mehr weit.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Hallo,
zuerst einmal vielen Dank für deine Antwort.
Leider haben wir das Spatprodukt (noch) nicht gehabt. Einen Lösungsweg, der zur richtigen Lösung führt (der Lehrer hat diese angegeben) habe ich bereits schon, nur eben nicht den auf dieser Möglichkeit basierenden.
Vielleicht weiß jemand anderes, was mein Lehrer gemeint haben könnte?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mo 21.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> zuerst einmal vielen Dank für deine Antwort.
> Leider haben wir das Spatprodukt (noch) nicht gehabt.
> Einen Lösungsweg, der zur richtigen Lösung führt (der
> Lehrer hat diese angegeben) habe ich bereits schon, nur
> eben nicht den auf dieser Möglichkeit basierenden.
> Vielleicht weiß jemand anderes, was mein Lehrer gemeint
> haben könnte?
Hallo,
dieser dritte Weg basiert im Prinzip auf dem zweiten.
Das Vektorprodukt zweier Vektoren ist ein neuer Vektor, der auf beiden gegebenen Vektoren senkrecht steht (die gleiche Eigenschaft hat ein gemeinsames Lot beider Geraden (bzw. ihrer Richtungsvektoren).
Gruß Abakus
>
> Grüße
|
|
|
| |
|
Okay, und wenn ich dann alles soweit ausgerechnet habe?
Also sagen wir mal, ich habe für [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] den folgenden Vektor berechnet:
[mm] \vektor{5s \\ -5s \\ 20s}
[/mm]
Wie mache ich dann weiter? Wenn ich die Länge berechne bekomme ich etwas, das von s abhängig ist. (In diesem Fall wäre das [mm] \wurzel{450}*s)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Mo 21.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sagtest doch in 2 hast du das mit dem gemeinsamen Lot gemacht; wie?
hier hast du jetz direkt ein gemeinsames Lot, dann weiter wie in 2
Gruss leduart
|
|
|
|
