Abstand zu einem Punkt < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 So 04.10.2009 | | Autor: | Elena.. |
| Aufgabe | Welche Punkte auf den Koordinatenachsen haben von P den Abstand d?
P(3/3), d=5 |
Ich hab zwar den Rechenweg + Lösung im Heft stehen allerdings verstehe ich den Rechenweg nicht mehr -.-
Ich fang mal an. Formel:
[mm] \overline{PQ} [/mm] = [mm] \wurzel{(Xq-Xp)² + (Yq-Yp)²}
[/mm]
[mm] \overline{PQ} [/mm] = [mm] \wurzel{(Xq-3)² + (0-3)²} [/mm] Das ist auch klar. Yq setzt man 0 weil die Punkte ja an einer Achse(in diesem Fall an der X-Achse liegen sollen)
25= (Xq-3)² + (0-3)² Ich bin mir nicht sicher,aber quadriert man nicht alles damit die Wurzel wegfällt?! Das hatte ich so gedacht, weil ja aus der 5 eine 25 geworden ist.?
So bis dahin ist es eigentlich klar. Nun komm ich nicht weiter.
25= x² - 6Xq +9 +9
Warum denn 6Xq und warum zwei mal die 9. Klar, eine ist das Quadrat aus 3. Aber die andere?
Ich schreib den Rest auch mal auf:
25= x² - 6Xq +9 +9 /-25
0= x² -6Xq - 7
X1,2 = 3 +- [mm] \wurzel{9+7}
[/mm]
= 3 +- [mm] \wurzel{16}
[/mm]
= 3 +- 4
X1= 3+4 = 7
X2= 3-4 = -1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 So 04.10.2009 | | Autor: | Disap |
Hallo Elena..!
> Welche Punkte auf den Koordinatenachsen haben von P den
> Abstand d?
> P(3/3), d=5
> Ich hab zwar den Rechenweg + Lösung im Heft stehen
> allerdings verstehe ich den Rechenweg nicht mehr -.-
Schön, dass du den Rechenweg gleich mit postest!
> Ich fang mal an. Formel:
> [mm]\overline{PQ}[/mm] = [mm]\wurzel{(Xq-Xp)^2 + (Yq-Yp)^2}[/mm]
>
> [mm]\overline{PQ}[/mm] = [mm]\wurzel{(Xq-3)^2 + (0-3)^2}[/mm] Das ist auch
> klar. Yq setzt man 0 weil die Punkte ja an einer Achse(in
> diesem Fall an der X-Achse liegen sollen)
> 25= (Xq-3)² + (0-3)² Ich bin mir nicht sicher,aber
> quadriert man nicht alles damit die Wurzel wegfällt?! Das
> hatte ich so gedacht, weil ja aus der 5 eine 25 geworden
> ist.?
Da hast du auch richtig gedacht.
[mm] $d=\wurzel{(Xq-Xp)^2 + (Yq-Yp)^2} [/mm] $
ist die Formel für den Abstand d (distance) zweier Punkte [mm] (x_p,y_p) [/mm] und [mm] (x_q,y_q). [/mm] Und deswegen ist die linke Seite gleich 5.
Dann quadrierst du und links erhälst du [mm] 5^2=25 [/mm] und rechts fällt die Wurzel weg. Das hast du alles richtig erkannt!
> So bis dahin ist es eigentlich klar. Nun komm ich nicht
> weiter.
>
> 25= x² - 6Xq +9 +9
> Warum denn 6Xq und warum zwei mal die 9. Klar, eine ist
> das Quadrat aus 3. Aber die andere?
[mm] (x_q-3)^2 [/mm] kannst du anscheinend nicht auflösen.
Das ist das zweite Binom, das hat die allgemeine Form [mm] (a-b)^2 [/mm] = [mm] a^2-2ab+b^2
[/mm]
Hier ist a = [mm] x_q [/mm] und b=3
Daher => [mm] (x_q-3)^2 =x_q^2 -2*x_q*3+3^2 [/mm] = [mm] x_q^2-6x_q+9
[/mm]
Die andere 9 kannst du dir ja selbst erklären.
Alternativ hättest du auch
[mm] (x_q-3)^2 [/mm] = [mm] (x_q-3) (x_q-3) [/mm] rechnen können, das ergibt
[mm] =x_q*x_q -x_q*3 -3x_q [/mm] -3*(-3) = [mm] x_q^2-6x_q+9
[/mm]
Also dasselbe Ergebnis.
> Ich schreib den Rest auch mal auf:
> 25= x² - 6Xq +9 +9 /-25
> 0= x² -6Xq - 7
> X1,2 = 3 +- [mm]\wurzel{9+7}[/mm]
> = 3 +- [mm]\wurzel{16}[/mm]
> = 3 +- 4
>
> X1= 3+4 = 7
> X2= 3-4 = -1
Ist dir nun alles klar? Ansonsten frag noch mal nach!
Liebe Grüße
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 So 04.10.2009 | | Autor: | Elena.. |
Ich danke dir! Jetzt ist fast alles klar ;)
0= x² -6x -7
Bis dahin ist jetzt alles klar =)
Aber dann verstehe ich nicht wie darauf komme
X1,2 = 3 +- [mm] \wurzel{9+7}
[/mm]
Wie kommt man auf die 9 und wie kommt das x² auf die linke Seite?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 So 04.10.2009 | | Autor: | Disap |
Hi!
> Ich danke dir! Jetzt ist fast alles klar ;)
>
> 0= x² -6x -7
> Bis dahin ist jetzt alles klar =)
> Aber dann verstehe ich nicht wie darauf komme
> X1,2 = 3 +- [mm]\wurzel{9+7}[/mm]
> Wie kommt man auf die 9 und wie kommt das x² auf die
> linke Seite?
in der letzten Gleichung X1,2 = ... ist das nicht [mm] x^2, [/mm] sondern [mm] x_{1,2}. [/mm] Eine Schreibweise, die dir sagt, dass es für die Gleichung 2 Lösungen für x gibt.
Zur Lösung von 0= [mm] x^2 [/mm] -6x -7 wird die PQ-Formel verwendet.
Zur Lösung der Gleichung [mm] x^2+px+q [/mm] = 0 ist die fertigformel
[mm] $x_{1,2} [/mm] = [mm] -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
[/mm]
Das ist eine Formel, die du auswendig können solltest. Sie erleichtert dir in Mathe einiges an Arbeit.
In deinem Fall ist wegen [mm] x^2 [/mm] -6x -7 unser p=-6 und q=-7
Jetzt setzen wir es in
[mm] $x_{1,2} [/mm] = [mm] -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
[/mm]
ein, d. h.
[mm] $x_{1,2} [/mm] = - [mm] \frac{(-6)}{2}\pm \sqrt{(\frac{6}{2})^2-(-7)}$
[/mm]
$= +3 [mm] \pm \sqrt{(3)^2+7}$
[/mm]
$= 3 [mm] \pm \sqrt{9+7}$
[/mm]
und schon sind wir bei deinem Ergebnis.
Ist nun alles geklärt?
Beste Grüße
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 So 04.10.2009 | | Autor: | Elena.. |
Ja, danke. Jetzt hab ich es verstanden.
Ich muss dir grade mal sagen, dass du echt super gut erkären kannst. Kompliment!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 So 04.10.2009 | | Autor: | Disap |
> Ich muss dir grade mal sagen, dass du echt super gut
> erkären kannst. Kompliment!
Dankeschön :)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:30 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Elena.. |
| Aufgabe | Welche Punkte haben auf den Koordinatenachsen haben von P den Abstand d?
c) P(2/4) d=3,8 |
Irgendwie komm ich da auf das falsche Ergebnis!?
[mm] \overline{PQ}= \wurzel{(Xq-Xp)² + (Yq-Yp)²}
[/mm]
14,44= (Xq-2)² + (0-4)²
14,44= Xq² -4Xq +4 +4
0= Xq² -4Xq -6,44
[mm] x_{1,2}= -\bruch{-4}{2} [/mm] +- [mm] \wurzel{ \bruch{4}{2}² +6,44}
[/mm]
= 2+- 10,44
x1 = 2+10,44 = 12,44
x2 = 2-10,44 = -8,44
Als Erbenis müsste aber (0/0,8) bzw. (0/7,2) rauskommen
Wo liegt mein Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Disap |
Hallo Elena..!
> Welche Punkte haben auf den Koordinatenachsen haben von P
> den Abstand d?
> c) P(2/4) d=3,8
> Irgendwie komm ich da auf das falsche Ergebnis!?
>
> [mm]\overline{PQ}= \wurzel{(Xq-Xp)^2 + (Yq-Yp)^2}[/mm]
Das Prinzip ist schon mal richtig 
> 14,44=
> (Xq-2)² + (0-4)²
> 14,44= Xq² -4Xq +4 +4
(0-4)² = [mm] (-4)^2 [/mm] sind nicht +4, sondern +16
> 0= Xq² -4Xq -6,44
>
> [mm]x_{1,2}= -\bruch{-4}{2}[/mm] +- [mm]\wurzel{ (\bruch{4}{2})^2 +6,44}[/mm]
Bis hier ist es folgerichtig
> = 2+- 10,44
> x1 = 2+10,44 = 12,44
> x2 = 2-10,44 = -8,44
Ich habe das jetzt nicht in den TR eingegeben, der Fehler lag ja weiter oben.
> Als Erbenis müsste aber (0/0,8) bzw. (0/7,2) rauskommen
> Wo liegt mein Fehler?
MfG
Disap
Edit: Nur Layoutveränderungen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Elena.. |
| Aufgabe | Der Kreis k geht durch die Punkte A und B und hat den Radius r.
A(4/0) B(1/-3) r=3 |
Ich hab zwar einen Ansatz, aber dann weiß ich nicht weiter;)
(x-xm)² + (y-ym)² = r²´
1.(4-xm)² + (0-ym)² = 3²
1. 16-8xm+xm²+ym²= 9
2. (1-xm)² + (-3-ym)² =3²
2. 1-2xm+xm² +9+6xm+ym²
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Hallo Elena..,
> Der Kreis k geht durch die Punkte A und B und hat den
> Radius r.
> A(4/0) B(1/-3) r=3
> Ich hab zwar einen Ansatz, aber dann weiß ich nicht
> weiter;)
>
> (x-xm)² + (y-ym)² = r²´
>
> 1.(4-xm)² + (0-ym)² = 3²
> 1. 16-8xm+xm²+ym²= 9
>
> 2. (1-xm)² + (-3-ym)² =3²
> 2. 1-2xm+xm² +9+6xm+ym²
>
>
Subtrahiere diese 2 Gleichungen voneinander,
dann erhältst Du eine Gleichung, die den Zusammenhang
zwischen [mm]y_{m}[/mm] und [mm]x_{m}[/mm] beschreibt.
Diese Gleichung setzt Du entweder in 1 oder 2 ein,
damit erhältst Du die noch fehlende Komponente [mm]x_{m}[/mm] bzw. [mm]y_{m}[/mm].
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:08 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Elena.. |
Versteh ich nicht?! Wie soll ich die denn subtrahieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mo 05.10.2009 | | Autor: | Disap |
> Versteh ich nicht?! Wie soll ich die denn subtrahieren?
Du hast geschrieben
1.(4-xm)² + (0-ym)² = 3²
1. 16-8xm+xm²+ym²= 9
2. (1-xm)² + (-3-ym)² =3²
2. 1-2xm+xm² +9+6xm+ym² = 9
Das ist fast okay, aber es sind 6ym
Du hast zwei Gleichungen
(GL1)16-8xm+xm²+ym²= 9
(GL2)1-2xm+xm² +9+6ym+ym² = 9
Was passiert jetzt, wenn du (GL1)-(GL2) rechnest?
Ganz langsam geschrieben:
16 -8xm [mm] +xm^2 +ym^2 [/mm] - [mm] [1-2xm+xm^2+9+6ym+ym^2] [/mm] = 9- 9
Das rechnest du jetzt aus. Glücklicherweise hebt sich [mm] ym^2 [/mm] und [mm] xm^2 [/mm] weg, sodass du noch xm und ym in der neuen Gleichung stehen hast.
dann stellst du diese Gleichung nach xm oder ym um und setzt sie in (GL1) oder (GL2) ein. Dann hast du einen quadratischen Ausdruck und löst sie mit der PQ-Formel.
(So hat es Mathepower auch geschrieben)
Viele Grüße
Disap
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