Abstand zweier Ebenen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Im [mm] E_{3} [/mm] betrachten wir die Ebenen
[mm] H_{1} [/mm] :x= [mm] \vektor{1\\8\\-1}+s\vektor{3\\2\\2}+t\vektor{3\\1\\0} [/mm] s,t [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] H_{2}: [/mm] x [mm] =\vektor{6\\-13\\19}+u\vektor{0\\1\\2}+v\vektor{-6\\-3\\a} [/mm] u,v [mm] \in \IR
[/mm]
a)Bestimmen Sie a, sodass beide Ebenen parallel zueinander sind.
b)Bestimmen Sie für dieses a den Abstand d der beiden Ebenen zueinander. |
Hallo.
Auch diese Aufgabe ist Neuland für mich, weswegen ich auf etwas Hilfe hoffe.
Zu a) Zwei Ebenen sind dann parallel, wenn sie keine Schnittpunkte haben.
D.h die Orthogonale der Ebenen müssen parallel sein.
Daraus habe ich geschlussfolgert, dass [mm] H_{1} [/mm] und [mm] H_{2} [/mm] den gleichen Normalvektor haben müssen.
Also [mm] n*\vektor{3\\2\\2}=0 \wedge n*\vektor{3\\1\\0}=0
[/mm]
Daraus sollte ich ein n erhalten, welches wiederum für [mm] n*\vektor{0\\1\\2} [/mm] und [mm] n*\vektor{-6\\-3\\a} [/mm] gelten müsste.
Wäre diese Vorgehensweise korrekt?
b)
Hier habe ich gerade keine Idee zu, könnte daran liegen, dass es spät ist.
Grüße
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> Im [mm]E_{3}[/mm] betrachten wir die Ebenen
> [mm]H_{1}[/mm] :x=
> [mm]\vektor{1\\
8\\
-1}+s\vektor{3\\
2\\
2}+t\vektor{3\\
1\\
0}[/mm] s,t
> [mm]\in \IR[/mm]
> [mm]H_{2}:[/mm] x
> [mm]=\vektor{6\\
-13\\
19}+u\vektor{0\\
1\\
2}+v\vektor{-6\\
-3\\
a}[/mm]
> u,v [mm]\in \IR[/mm]
>
> a)Bestimmen Sie a, sodass beide Ebenen parallel zueinander
> sind.
> b)Bestimmen Sie für dieses a den Abstand d der beiden
> Ebenen zueinander.
>
> Hallo.
>
>
> Auch diese Aufgabe ist Neuland für mich, weswegen ich auf
> etwas Hilfe hoffe.
>
> Zu a) Zwei Ebenen sind dann parallel, wenn sie keine
> Schnittpunkte haben.
> D.h die Orthogonale der Ebenen müssen parallel sein.
>
> Daraus habe ich geschlussfolgert, dass [mm]H_{1}[/mm] und [mm]H_{2}[/mm] den
> gleichen Normalvektor haben müssen.
> Also [mm]n*\vektor{3\\
2\\
2}=0 \wedge n*\vektor{3\\
1\\
0}=0[/mm]
>
> Daraus sollte ich ein n erhalten, welches wiederum für
> [mm]n*\vektor{0\\
1\\
2}[/mm][mm] \red{=0} [/mm] und [mm]n*\vektor{-6\\
-3\\
a}[/mm][mm] \red{=0} [/mm] gelten
> müsste.
>
> Wäre diese Vorgehensweise korrekt?
Hallo,
so kannst Du es machen.
>
> b)
> Hier habe ich gerade keine Idee zu, könnte daran liegen,
> dass es spät ist.
Stichwort wäre hier: Hessesche Normalform.
HNF der einen Ebene aufstellen, einen Punkt der anderen Ebene einsetzen, heraus kommt der Abstand.
LG Angela
>
> Grüße
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Hallo und danke für die Antwort.
Für a) habe ich ein Lgs aufgestellt mit:
[mm] \pmat{3&2&2&0\\3&1&0&0\\-6&-3&a&0\\0&1&2&0}
[/mm]
Durch umstellen bin ich auf:
[mm] \pmat{3&2&2&0\\0&-1&2&0\\0&0&2+a&0\\0&0&0&}
[/mm]
Wegen der 0-Zeile gilt: [mm] n_{3}=\lambda [/mm] (frei wählbar)
Mit [mm] n_{3}=2 [/mm] gilt a=-2 und die Probe erfüllt das LGS.
b) Für beide Ebenen habe ich bereits einen Vektor mit [mm] \vektor{\bruch{4}{3}\\-4\\2}=n [/mm] gefunden.
[mm] n_{0}=\bruch{n}{|n|}=\bruch{n}{\bruch{14}{3}}=\vektor{\bruch{2}{7}\\\bruch{-6}{7}\\\bruch{3}{7}}
[/mm]
Damit erhalte ich für einen beliebigen Punkt aus [mm] H_{1} [/mm] die Hesse-Normalform
[mm] \vektor{z_{1}\\z_{2}\\z_{3}}*\vektor{\bruch{2}{7}\\\bruch{-6}{7}\\\bruch{3}{7}}=\bruch{2}{7}z_{1}-\bruch{6}{7}z_{2}+\bruch{3}{7}z_{3}
[/mm]
Und für den Punkt [mm] \vektor{1\\8\\-1} [/mm] folgt daraus
[mm] \bruch{2}{7}z_{1}-\bruch{6}{7}z_{2}+\bruch{3}{7}z_{3}=\bruch{2}{7}*1-\bruch{6}{7}*8-\bruch{3}{7}=-7
[/mm]
Der Punkt P [mm] \vektor{1\\8\\-1} [/mm] liegt in [mm] H_{1} [/mm] , der Punkt Q [mm] \vektor{6\\-13\\19} [/mm] in [mm] H_{2}.
[/mm]
Der Punkt Q kann durch den direkten Ortsvektor [mm] v_{q} [/mm] und durch Linearkombination des Ortsvektor mit einem Vielfachen der Orthogonalen, da die Orthogonalen der Ebenen [mm] H_{1} [/mm] und [mm] H_{2} [/mm] parallel sind: [mm] v_{p}+a*n_{0}
[/mm]
dargestellt werden.
Damit gilt:
[mm] v_{q}*n_{0}=(a*n_{0}+v_{p})*n_{0}
[/mm]
Daraus [mm] folgt:v_{q}*n_{0}=v_{p}*n_{0}+a*n_{0}^2=d+a*n_{0}^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow a=\bruch{v_{q}*n_{0}-d}{n_{0}^2}=\bruch{(\bruch{2}{7}*(6+-13+19)-(-7)}{\bruch{2}{7}^2}=\bruch{371}{4}
[/mm]
Laut einem Skript ist [mm] a*n_{0}^2=a, [/mm] womit ich ich auf einen Abstand der Ebenen von 21 kommen würde.
Dieses Ergebnis schaut zumindestens plausibler für E-Learning aus, aber ich verstehe nicht warum [mm] n_{0}^2=1 [/mm] ergibt?
Grüße
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> Hallo und danke für die Antwort.
>
> Für a) habe ich ein Lgs aufgestellt mit:
>
> [mm]\pmat{3&2&2&0\\
3&1&0&0\\
-6&-3&a&0\\
0&1&2&0}[/mm]
>
> Durch umstellen bin ich auf:
> [mm]\pmat{3&2&2&0\\
0&-1&2&0\\
0&0&2+a&0\\
0&0&0&}[/mm]
>
> Wegen der 0-Zeile gilt: [mm]n_{3}=\lambda[/mm] (frei wählbar)
> Mit [mm]n_{3}=2[/mm] gilt a=-2 und die Probe erfüllt das LGS.
>
> b) Für beide Ebenen habe ich bereits einen Vektor mit
> [mm]\vektor{\bruch{4}{3}\\
-4\\
2}=n[/mm] gefunden.
Hallo,
ich verstehe nicht so gut, was Du getan hast, aber sowohl a=-2 als auch Dein Normalenvektor stimmen.
Ich hätt's besser gefunden, hättest Du in a) zunächst den Normalenvektor von [mm] E_1 [/mm] ausgerechnet, und dann a so bestimmt, daß er auch ein Normalenvektor von [mm] E_2 [/mm] ist.
Also 2 kl. Gleichungssysteme zusammen mit ein paar erklärenden Worten.
>
> [mm]n_{0}=\bruch{n}{|n|}=\bruch{n}{\bruch{14}{3}}=\vektor{\bruch{2}{7}\\
\bruch{-6}{7}\\
\bruch{3}{7}}[/mm]
Richtig.
>
> Damit erhalte ich für einen beliebigen Punkt aus [mm]H_{1}[/mm] die
> Hesse-Normalform
>
> [mm]\vektor{z_{1}\\
z_{2}\\
z_{3}}*\vektor{\bruch{2}{7}\\
\bruch{-6}{7}\\
\bruch{3}{7}}=\bruch{2}{7}z_{1}-\bruch{6}{7}z_{2}+\bruch{3}{7}z_{3}[/mm]
Das ist nicht die HNF.
Die HNF einer Ebene E hat die Gestalt [mm] \vec{x}*\vec{n_0}-d=0 [/mm] mit [mm] d\ge [/mm] 0.
[mm] \vec{n_0} [/mm] ist dabei ein Normaleneinheitsvektor.
Du bekommst die HNF, indem Du in [mm] (\vec{x}-\vec{p})*\vec{n_0}=0 [/mm] für [mm] \vec{p} [/mm] den Ortsvektor eines Ebenenpunktes einsetzt.
Das mache ich jetzt:
$ [mm] 0=(\vec{x}-\vektor{1\\8\\-1})*\vektor{\bruch{2}{7}\\
\bruch{-6}{7}\\
\bruch{3}{7}}=\vec{x}*\vektor{\bruch{2}{7}\\
\bruch{-6}{7}\\
\bruch{3}{7}}+7 [/mm] $,
also ist die HNF (alles mit -1 multipliziert)
$ [mm] \vec{x}*\vektor{\bruch{-2}{7}\\
\bruch{6}{7}\\
\bruch{-3}{7}}-7=0 [/mm] $,
Was Du unten schreibst, ist die Koordinatenform, welche man aus der HNF leicht gewinnt und umgekehrt.
> und für den Punkt [mm]\vektor{1\\
8\\
-1}[/mm] folgt daraus
>
> [mm]\bruch{2}{7}z_{1}-\bruch{6}{7}z_{2}+\bruch{3}{7}z_{3}=\bruch{2}{7}*1-\bruch{6}{7}*8-\bruch{3}{7}=-7[/mm]
>
> Der Punkt P [mm]\vektor{1\\
8\\
-1}[/mm] liegt in [mm]H_{1}[/mm] , der Punkt Q
> [mm]\vektor{6\\
-13\\
19}[/mm] in [mm]H_{2}.[/mm]
Ich habe oben die HNF von [mm] E_1 [/mm] aufgestellt.
Du müßtest in [mm] \vec{x}*\vektor{\bruch{-2}{7}\\\bruch{6}{7}\\\bruch{-3}{7}}-7= [/mm] für [mm] \vec{x} [/mm] jetzt nur noch [mm]\vektor{6\\
-13\\
19}[/mm] einsetzen und würdest als Ergebnis den Abstand dieses Punktes von [mm] E_1 [/mm] bekommen und damit den Abstand der beiden parallelen Ebenen.
> Der Punkt Q kann durch den direkten Ortsvektor [mm]v_{q}[/mm] und
> durch Linearkombination des Ortsvektor mit einem Vielfachen
> der Orthogonalen,
Nein, das klappt nicht, denn Dein Q ist nicht der Fußpunkt von P auf die zweite Ebene.
LG Angela
> da die Orthogonalen der Ebenen [mm]H_{1}[/mm] und
> [mm]H_{2}[/mm] parallel sind: [mm]v_{p}+a*n_{0}[/mm]
> dargestellt werden.
> Damit gilt:
> [mm]v_{q}*n_{0}=(a*n_{0}+v_{p})*n_{0}[/mm]
>
> Daraus [mm]folgt:v_{q}*n_{0}=v_{p}*n_{0}+a*n_{0}^2=d+a*n_{0}^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a=\bruch{v_{q}*n_{0}-d}{n_{0}^2}=\bruch{(\bruch{2}{7}*(6+-13+19)-(-7)}{\bruch{2}{7}^2}=\bruch{371}{4}[/mm]
>
>
> Laut einem Skript ist [mm]a*n_{0}^2=a,[/mm] womit ich ich auf einen
> Abstand der Ebenen von 21 kommen würde.
> Dieses Ergebnis schaut zumindestens plausibler für
> E-Learning aus, aber ich verstehe nicht warum [mm]n_{0}^2=1[/mm]
> ergibt?
>
> Grüße
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