Abstand zweier Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:22 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Candoo |
| Aufgabe | Bestimmen sie den Abstand der Geraden
a: [mm] x=\vektor{2\\2\\0}+t*\vektor{-1\\-1\\5}
[/mm]
und
[mm] b:x=\vektor{2\\-2\\0}+t*\vektor{-7\\7\\8} [/mm] |
Mein Ansatz ist es erstmals eine Gerade quasi zeielanrtig aufzuschreiben ,also:
a: 2-t | 2-t | 5t
Das sollte man doch nun irgendwie in b einsetzen oder sehe ich das falsch,habt ihr Tipps?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:54 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Ersty |
Hallo,
es gibt verschiedene Varianten um den Abstand zu berechnen.
Hier mein Vorschlag:
Guck dir zunächst an, welche Lagebeziehung die beiden Geraden haben:
Welche Lagebeziehungen gibt es?
Tipp: Um die Lagebeziehungen zu ermitteln, guck dir die Richtungsvektoren an.
Kommst du auf die Lagebeziehung?
Dann überleg dir, wie du zwischen diesen Geraden den Abstand berechnen kannst,
z.B. kannst du den Abstand zwischen 2 parallelen Geraden über die Länge des Normalenvektors (steht senkrecht auf deiner Geraden) von einer der beiden Geraden berechnen. Aber vlt sind die beiden Geraden nicht parallel, was dann? überlegs dir!
Versuchs mal!
Gruß Ersty
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Candoo |
Die Geraden sind windschief,da die Vektoren keine Vielfache voneinander sind.
Nur wie kann ich nun den Abstand berechnen,einfach den Normalenvektor den einen mit der anderen Gerade schneiden lassen,oder?
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Hallo,
> Die Geraden sind windschief,da die Vektoren keine Vielfache
> voneinander sind.
>
> Nur wie kann ich nun den Abstand berechnen,einfach den
> Normalenvektor den einen mit der anderen Gerade schneiden
> lassen,oder?
>
Du hast doch erzählt dass sie windschief sind. Wie soll dann der Normalenvektor der einen Gerade die andere Gerade schneiden?
Berechne beiden Normalenvektoren und dann den Abstand beider Normalenvektoren berechnen.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Candoo |
> Man stellt eine Ebene E auf, die parallel zu einer der Geraden (h) verläuft >und die andere Gerade (g) enthält.Dann hat jeder Punkt B auf h den gesuchten Abstand von der Ebene E. Der Normalenvektor $ [mm] \vec{n}_E [/mm] $ >von E ist zugleich der Vektor, der in Richtung des Abstandes zeigt, d.h. er >steht auf beiden Geraden senkrecht
Ich habe die Geraden:
a: [mm] x=\vektor{2\\2\\0}+t*\vektor{-1\\-1\\5}
[/mm]
und
[mm] b:x=\vektor{2\\-2\\0}+t*\vektor{-7\\7\\8}
[/mm]
Nun erstelle ich diese sogenannte Hilfseben:
Ebene: [mm] \vec{x}=\vektor{2\\2\\0}+t*\vektor{-1\\-1\\5}+u*\vektor{-7\\7\\8}
[/mm]
Wir rechnen den Normalenvekor aus:
[mm] n_{1}*\vektor{-1\\-1\\5}=0
[/mm]
[mm] n_{1}*\vektor{-7\\7\\8}=0
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 5 |0 \\ 7 & 7&8|0 }
[/mm]
II -7*I
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 5 |0 \\ 0 & 14&-27|0 }
[/mm]
c=t
14b-27t=0
14b=27t
[mm] b=\bruch{27}{14}t
[/mm]
in I:
[mm] 1a-\bruch{27}{14}t+5t=0
[/mm]
[mm] a=\bruch{27}{14}t-5t
[/mm]
[mm] a=-3\bruch{1}{14}t
[/mm]
Wir bekommen also als Normalenvektor folgendes raus:
[mm] \vektor{-3\bruch{1}{14}t \\\bruch{27}{14}t\\t}
[/mm]
für t=14:
[mm] \vektor{-3 \\\27\\14}
[/mm]
Nun hake ich aber wirklich...
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Hallo Candoo,
> > Man stellt eine Ebene E auf, die parallel zu einer der
> Geraden (h) verläuft >und die andere Gerade (g)
> enthält.Dann hat jeder Punkt B auf h den gesuchten Abstand
> von der Ebene E. Der Normalenvektor [mm]\vec{n}_E[/mm] >von E ist
> zugleich der Vektor, der in Richtung des Abstandes zeigt,
> d.h. er >steht auf beiden Geraden senkrecht
>
> Ich habe die Geraden:
> a: [mm]x=\vektor{2\\2\\0}+t*\vektor{-1\\-1\\5}[/mm]
> und
> [mm]b:x=\vektor{2\\-2\\0}+t*\vektor{-7\\7\\8}[/mm]
>
> Nun erstelle ich diese sogenannte Hilfseben:
> Ebene:
> [mm]\vec{x}=\vektor{2\\2\\0}+t*\vektor{-1\\-1\\5}+u*\vektor{-7\\7\\8}[/mm]
>
> Wir rechnen den Normalenvekor aus:
> [mm]n_{1}*\vektor{-1\\-1\\5}=0[/mm]
> [mm]n_{1}*\vektor{-7\\7\\8}=0[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 5 |0 \\ 7 & 7&8|0 }[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Vorzeichen fehlerhaft!
es muss heißen: [mm] \pmat{ 1 & -1 & 5 |0 \\ \red{-}7 & 7&8|0 }
[/mm]
Rechne bitte erneut!
Du kanst ja mit dem Zitieren-Button die vielen Formeln gleich in deine Frage kopieren und dort verbessern...
>
> II -7*I
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 5 |0 \\ 0 & 14&-27|0 }[/mm]
>
> c=t
>
> 14b-27t=0
> 14b=27t
> [mm]b=\bruch{27}{14}t[/mm]
>
> in I:
> [mm]1a-\bruch{27}{14}t+5t=0[/mm]
> [mm]a=\bruch{27}{14}t-5t[/mm]
> [mm]a=-3\bruch{1}{14}t[/mm]
>
> Wir bekommen also als Normalenvektor folgendes raus:
> [mm]\vektor{-3\bruch{1}{14}t \\\bruch{27}{14}t\\t}[/mm]
> für
> t=14:
> [mm]\vektor{-3 \\\27\\14}[/mm]
>
> Nun hake ich aber wirklich...
Gruß informix
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Abstandsberechnungen