Abstandsberechnung < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Do 09.02.2006 | | Autor: | xroot |
| Aufgabe |
Bestimme den Abstand P und g, indem du den Flächeninhalt eines geeigneten Dreiecks GHP (G und H liegen auf g) und die zugehörige Höhe h berechnest. |
HI,
es ist eigentlich eine simple Aufgabe...
aber ich komme nicht drauf wie man den Abstand mit Hilfe vom Flächeninhalt berechnen sollte?
Kann da eienr helfen?
Es ist gegeben:
[mm] g:x=\pmat{ -25\\6\\11 } [/mm] + t [mm] \pmat{-5\\8\\1 } [/mm] und [mm] P\pmat{ 1\\1\\1 } [/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Es sei [mm]g[/mm] eine Gerade mit dem Richtungsvektor [mm]\vec{u}[/mm] durch den Punkt [mm]A[/mm] mit dem Ortsvektor [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]P[/mm] ein Punkt mit dem Ortsvektor [mm]\vec{p}[/mm].
Den Abstand [mm]d(P,g)[/mm] des Punktes [mm]P[/mm] zur Geraden [mm]g[/mm] kann man bestimmen, indem man den Flächeninhalt [mm]F[/mm] des von den Vektoren [mm]\vec{u}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AP}[/mm] aufgespannten Parallelogramms auf zwei Arten bestimmt:
1. [mm]F = \left| \vec{u} \times \left( \vec{p} - \vec{a} \right) \right|[/mm]
2. [mm]F = \left| \vec{u} \right| \cdot d(P,g)[/mm]
Die erste Formel ist die bekannte Parallelogrammflächenformel mit dem Kreuzprodukt der das Parallelogramm aufspannenden Vektoren. Die zweite Formel beruht auf der Beziehung [mm]\mbox{Grundseite} \cdot \mbox{Höhe}[/mm]. Das Gleichstellen der Formeln liefert [mm]d(P,g)[/mm]. Beachte auch den Zusammenhang mit der Plückerschen Form einer Geraden.
Zum besseren Verständnis ist eine Skizze hilfreich. Hefte darin den Vektor [mm]\vec{u}[/mm] am Punkt [mm]A[/mm] an.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:48 Do 09.02.2006 | | Autor: | xroot |
Na gut danke!
Den Ansatz habe ich zwar auch verfolgt...aber ich kamm bei
[mm] \vektor{-75\\ -24\\-183} [/mm] = [mm] \vektor{-5\\8\1}*h
[/mm]
später nicht weiter...
Sowas habe ich nicht behandelt....
weist du da weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 Fr 10.02.2006 | | Autor: | riwe |
da hast du die flinte a) zu früh ins korn geworfen und b) warst du ziemlich schlampig
[mm] \vektor{-75\\ -34\\-183} [/mm] paßt. daraus folgt [mm] A^{2}= \bruch{1}{4}\cdot [/mm] 39690
und mit [mm] A^{2}=h^{2}*90\bruch{1}{4} [/mm] hast du h = 21
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