www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Abstandsfunktionen für Mengen
Abstandsfunktionen für Mengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Abstandsfunktionen für Mengen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:08 So 15.11.2009
Autor: Rimtech

Aufgabe
Sei A [mm] \subset \IR^{n}. [/mm] Für x [mm] \in \IR^{n} [/mm] definieren wir den Abstand von x zu A als d(x,y) := inf{d(x,a) | a [mm] \in [/mm] A}, wobei d die euklidische Metrik des [mm] \IR^{n} [/mm] ist.
Zu zeigen:
i) [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR^{n} [/mm] gilt: |d(x) - d(y)| [mm] \le [/mm] d(x,y)
ii) Die Funktion d: [mm] \IR^{n} \to \IR [/mm] ist stetig.
iii) x [mm] \in \IR [/mm] liegt genau dann in A (abgeschlossen), wenn d(x) = 0 ist.

Hallo, ich sitze gerade an dieser Aufgabe und komme nicht weiter.

i) |d(x) - d(y)| = |inf{d(x,a) | a [mm] \in [/mm] A} - inf{d(y,a) | a [mm] \in [/mm] A}| [mm] \le [/mm] inf{|d(x,a) - d(y,a)|| a [mm] \in [/mm] A} [mm] \le [/mm] inf{d(x,y) | a [mm] \in [/mm] A} = d(x,y)

Kann ich das so machen, welche Begründung bringe ich bei den Ungleichungen?

ii) Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn für das Urbild einer offene Menge U [mm] \subset \IR [/mm] gilt [mm] d^{-1}(U) [/mm] ist offen in [mm] \IR^{n} [/mm]

Wie wende ich diese Definition auf die Aufgabe an?

iii)
"=>"
Sei x [mm] \in \A [/mm] (abgeschlossen), so ist d(x) = inf{d(x,a) | a [mm] \in [/mm] A} = d(x,x) = 0 falls x [mm] \in [/mm] A (innerer Kern) liegt. Falls x [mm] \in \deltaA [/mm] (Rand von A) liegt so existiert ein [mm] \varepsilon, [/mm] sodass die offene Umgebungskugel B(x) mit Radius [mm] \varepsilon [/mm] mindestens einen Punkt y [mm] \in [/mm] A erhält, deren Abstand d(x,y) beliebig klein wird.
"<="
Sei d(x) = 0 => inf{d(x,a) | x [mm] \in [/mm] A}  = 0 => d(x,x) = 0

Der Äquivalenzbeweis ist für mich unbefriedigend und ich weiß nichtmal ob er annähernd richtig ist.
Ich wäre für Hilfe sehr dankbar.

        
Bezug
Abstandsfunktionen für Mengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:53 Mo 16.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Sei A [mm]\subset \IR^{n}.[/mm] Für x [mm]\in \IR^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

definieren wir

> den Abstand von x zu A als d(x,y) := inf{d(x,a) | a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

A},

Die Funktion soll $d(x)$ heissen und nicht $d(x,y)$, nicht?

> wobei d die euklidische Metrik des [mm]\IR^{n}[/mm] ist.
>  Zu zeigen:
>  i) [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IR^{n}[/mm] gilt: |d(x) - d(y)| [mm]\le[/mm] d(x,y)
>  ii) Die Funktion d: [mm]\IR^{n} \to \IR[/mm] ist stetig.
>  iii) x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

liegt genau dann in A (abgeschlossen), wenn

> d(x) = 0 ist.
>
>  Hallo, ich sitze gerade an dieser Aufgabe und komme nicht
> weiter.
>  
> i) |d(x) - d(y)| = |inf{d(x,a) | a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

A} - inf{d(y,a) | a

> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

A}| [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

inf{|d(x,a) - d(y,a)|| a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

A} [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

inf{d(x,y)

> | a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

A} = d(x,y)

>  
> Kann ich das so machen, welche Begründung bringe ich bei
> den Ungleichungen?

Wenn du nicht weisst, warum die Ungleichungen gelten, sie also nicht begruenden kannst, dann kannst du das so nicht machen.

> ii) Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn für das
> Urbild einer offene Menge U [mm]\subset \IR[/mm] gilt [mm]d^{-1}(U)[/mm] ist
> offen in [mm]\IR^{n}[/mm]
>  
> Wie wende ich diese Definition auf die Aufgabe an?

Am besten gar nicht. Mit der [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Variante [/mm] der Stetigkeit in Kombination mit (i) kommst du schnell zum Ziel.

> iii)
>  "=>"
> Sei x [mm]\in \A[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

(abgeschlossen), so ist d(x) = inf{d(x,a) | a

> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

A} = d(x,x) = 0 falls x [mm]\in[/mm] A (innerer Kern) liegt.

Ok.

> Falls x [mm]\in \deltaA[/mm] (Rand von A) liegt so existiert ein
> [mm]\varepsilon,[/mm] sodass die offene Umgebungskugel B(x) mit
> Radius [mm]\varepsilon[/mm] mindestens einen Punkt y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

A erhält,

> deren Abstand d(x,y) beliebig klein wird.

Du meinst also, fuer alle $\varepsilon > 0$ liegt in der Kugel mind. ein Punkt von $A$.

Und jetzt? Fertig bist du noch nicht.

Mach es doch etwas anders.

Wegen $a \in \overline{A}$ gibt es eine Folge $(a_i)_i$ von Elementen aus $A$ mit $a_n \to x$ (warum?). Fuer jedes $a_i$ gilt $d(a_i) = 0$. Benutze jetzt (ii).

>  "<="
>  Sei d(x) = 0 => inf{d(x,a) | x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

A}  = 0 => d(x,x) = 0

Dass $d(x) = 0$ ist bedeutet doch, dass es zu jedem $\varepsilon > 0$ ein $x' \in A$ gibt mit $d(x, x') < \varepsilon$ (warum?). Konstruiere damit eine Folge von Elementen aus $A$, die gegen $x$ konvergiert. Daraus folgt dann $x \in \overline{A}$.

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Abstandsfunktionen für Mengen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Di 17.11.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de