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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Im [mm] R^n [/mm] seien n Punkte [mm] a_1, [/mm] ... , [mm] a_n [/mm] gegeben. Wo hat die Summe der Abstandsquadrate
f(x) := [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] |x - [mm] a_k|² [/mm] für x aus [mm] R^n [/mm] ein Minimum? |
Hi liebes matheboard team!
Ich hab in einem Buch eine ähnliche Aufgabe bei den Bsp gefunden, aber so ganz klar ist mir das noch nicht, vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen?
Also wenn ich das richtig verstehe, ist ein Punkt x gesucht, so dass die gesamtsumme der quadrierten Abstände zu den [mm] a_k [/mm] möglichst klein ist, richtig? Ich versteh nur noch nicht, warum das "Abstandsquadrate" sind??
ich hätt gedacht, ich muss "einfach" die partielle Abildung bilden und Null setzen. doch einen betrag kann man doch gar nicht differenzieren?
In meinem buch steht dass die zu minimierende Zielfunktion hier ist:
f(x)= [mm] \summe_{k=m}^{n} \summe_{i=1}^{n} (x_i [/mm] - [mm] a_i^{(k)})²
[/mm]
aber warum die doppelsumme? und was bedeuten die ganzen indizes? *confused*
die i-te partielle Ableitung wäre dann:
[mm] \bruch{df}{dx_i}(x)= \summe_{k=1}^{m} (2(x_i [/mm] - [mm] x_i^{(k)}) [/mm] = 2 [mm] mx_i [/mm] - 2 [mm] \summe_{k=1}^{m} x_i{(k)}
[/mm]
wo ist hier die zweite summe geblieben ?
viele grüße
riley
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Schau es dir genau an! Der Index k nummeriert die Punkte a durch, und der index i nummeriert einfach die Komponenten der Vektoren durch.
[mm] $|\vec [/mm] x [mm] |^2=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=\summe_{i=1}^{n}x_i^2$
[/mm]
Und wenn du das jezt nach [mm] $x_i$ [/mm] ableitest, verschwinden alle anderen Summanden, und es bleibt nur noch [mm] $\bruch{d}{dx_i}x_i^2$ [/mm] übrig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Riley |
guten morgen! danke für deine erklärungen... ich glaub so ein bissle versteh ich es 
d.h. wenn ich jetzt grad f (x) = 0 setze bekomm ich dann
[mm] 2mx_i [/mm] - 2 [mm] \summe_{k=1}^{m} x_i^{(k)} [/mm] = 0
[mm] \summe_{k=1}^{m} x_i^{(k)} [/mm] = [mm] mx_i
[/mm]
nur wie kann ich das nun nach x auflösen??
hm, und dann müsste ich ja noch zeigen, dass an der stelle wirklich ein minimum vorliegt. aber über die matrix wird das schwierig, oder?
viele grüße
riley
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Guten Morgen Riley,
> [mm]2mx_i[/mm] - 2 [mm]\summe_{k=1}^{m} x_i^{(k)}[/mm] = 0
> [mm]\summe_{k=1}^{m} x_i^{(k)}[/mm] = [mm]mx_i[/mm]
>
> nur wie kann ich das nun nach x auflösen??
Das Problem ist wohl das Du "locker leicht" einige Bezeichnungen gewechselt hast. Die [mm] x_i^{(k)} [/mm] müssen eigentlich [mm] a_i^{(k)} [/mm] heißen. Alles klar?
Mit den Indizees ist auch einiges durcheinander aber das stört wohl erstmal nicht.
> hm, und dann müsste ich ja noch zeigen, dass an der stelle
> wirklich ein minimum vorliegt. aber über die matrix wird
> das schwierig, oder?
Nein. Das kannst ruhig mal ausprobieren. Für die Hessematrix ergibt sich eine konstante Matrix.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi mathemaduenn!
'vielen dank für deine antwort. ohja, da bin echt etwas durcheinander gekommen mit den ganzen bezeichnungen. dann kann ich es auflösen:
also d.h. grad f (x) = 0 für
[mm] x_i [/mm] = [mm] \bruch{1}{m} \summe_{k=1}^{m} a_i^{(k)} [/mm] , so müsste es stimmen?
was meinst du ist bei den indizes noch nicht in ordnung?
oh, also allgemein müsste die hessematrix ja so aussehen:
[mm] \pmat{ \bruch{d²f}{dx_1²} & ... & \bruch{d²f}{dx_1 dx_n} \\ ... & ... & ... \\ \bruch{d²f}{dx_ndx_1} & ... & \bruch{d²f}{dx_n²} }
[/mm]
d.h. ich muss [mm] (2mx_i [/mm] - 2 [mm] \summe_{k=1}^{m} a_i^{(k)} [/mm] )nochmal ableiten:
[mm] \bruch{d²f}{dx_i²}= [/mm] 2m
hat die zugehörige hessematrix dann lauter einträge 2m ??
und da 2m > 0 liegt wirklich ein Minimum vor? aber wenn ich wirklich alle unterdeterminanten berechnen muss, dann bekomm ich doch immer det = 0, da lauten lin abhängige Zeilen und spalten??
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> also d.h. grad f (x) = 0 für
> [mm]x_i[/mm] = [mm]\bruch{1}{m} \summe_{k=1}^{m} a_i^{(k)}[/mm] , so müsste
> es stimmen?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> was meinst du ist bei den indizes noch nicht in ordnung?
in der Aufgabenstellung taucht noch kein m auf ? Später nimmt es die Funktion "Anzahl der Punkte" ein und wieso steht in der Doppelsumme k=m als Startpunkt?
> oh, also allgemein müsste die hessematrix ja so aussehen:
> [mm]\pmat{ \bruch{d²f}{dx_1²} & ... & \bruch{d²f}{dx_1 dx_n} \\ ... & ... & ... \\ \bruch{d²f}{dx_ndx_1} & ... & \bruch{d²f}{dx_n²} }[/mm]
>
> d.h. ich muss [mm](2mx_i[/mm] - 2 [mm]\summe_{k=1}^{m} a_i^{(k)}[/mm]
> )nochmal ableiten:
> [mm]\bruch{d²f}{dx_i²}=[/mm] 2m
> hat die zugehörige hessematrix dann lauter einträge 2m ??
Nein, da solltest Du nochmal über die gemischten Ableitungen nachdenken. (Also z.B. [mm] \bruch{d²f}{dx_1dx_2} [/mm] )
> und da 2m > 0 liegt wirklich ein Minimum vor? aber wenn
> ich wirklich alle unterdeterminanten berechnen muss, dann
> bekomm ich doch immer det = 0, da lauten lin abhängige
> Zeilen und spalten??
Wenn die Determinante null wäre könnte man mit der Hessematrix keine Aussage treffen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:38 So 11.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
vielen dank für deine korrektur. du hast recht, ich sollte die bezeichnungen besser wie in der aufgabenstellung benutzen.
also:
[mm] \bruch{df}{dx}= \summe_{k=1}^{n} [/mm] 2 [mm] (x-a_k) [/mm] = 2nx - [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 2 [mm] a_k
[/mm]
(grad f) (x) = 0, d.h. [mm] x=\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n}a_k
[/mm]
und [mm] \bruch{d²f}{dx²}=2n [/mm] , so müssten die indizes auch stimmen, oder?
'
hm mit der hessematrix bin ich mir noch nicht sicher. hängt das n mit den indizes [mm] vonx_1x_2 [/mm] zusammen? dass ich dadurch verschiedene einträge bekomme? nur ist mir auch noch nicht klar, wie ich überhaupt die determinante dann berechnen kann, wenn die matrix eigentlich nxn einträge hat...??
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> vielen dank für deine korrektur. du hast recht, ich sollte
> die bezeichnungen besser wie in der aufgabenstellung
> benutzen.
> also:
> [mm]\bruch{df}{dx}= \summe_{k=1}^{n}[/mm] 2 [mm](x-a_k)[/mm] = 2nx -
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 2 [mm]a_k[/mm]
>
> (grad f) (x) = 0, d.h. [mm]x=\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n}a_k[/mm]
Jetzt wäre also x ein Vektor? dann sollte es wohl grad f heißen statt [mm] \bruch{df}{dx} [/mm]
> und [mm]\bruch{d²f}{dx²}=2n[/mm] , so müssten die indizes auch
> stimmen, oder?
keine Ahnung was [mm] \bruch{d²f}{dx²} [/mm] sein soll.
> hm mit der hessematrix bin ich mir noch nicht sicher.
> hängt das n mit den indizes [mm]vonx_1x_2[/mm] zusammen? dass ich
> dadurch verschiedene einträge bekomme? nur ist mir auch
> noch nicht klar, wie ich überhaupt die determinante dann
> berechnen kann, wenn die matrix eigentlich nxn einträge
> hat...??
Die Einträge in der Hessematrix sin nicht alle gleich. Was hast Du denn raus für die von mir genannte gemischte Ableitung?
gruß
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
ja, hab versucht das mit den bezeichnungen von der aufgabenstellung zu machen, da ist x ja ein vektor,aber irgendwie ist das verwirrend...
hmm, für deine gemischte ableitung, (mit der andren schreibweise)
[mm] \bruch{df}{dx_2} [/mm] = [mm] 2mx_2 [/mm] - 2 [mm] \summe_{k=1}^{m} x_2^{k}
[/mm]
und [mm] \bruch{d²f}{dx_1dx_2} [/mm] = 0
hm, kann das sein? aber ich kann doch nicht alle partiellen ableitungen berechnen...?? *grübel*
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
Das von mir genannte Bsp. sollte nat. nur eine Anregung sein sich eine gewisse Systematik in den partiellen Ableitungen zu überlegen. Was wäre denn mit [mm] \bruch {{\partial}^2 f}{\partial x_{241} \partial x_{325}} [/mm] etc. ? Kannst Du eine Aussage über die Struktur der Hessematrix treffen? Das alle Elemente gleich 2m(oder 2n?) sind hatten wir ja jetzt ausgeschlossen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Di 13.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
danke für deine tipps!
hmm.... d.h. auf der diagonale der matrix steht immer 2m und die restlichen einträge sind 0, also die determinante det(M) = [mm] (2m)^n [/mm] ist??? ist das des rätsels lösung...???
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> hmm.... d.h. auf der diagonale der matrix steht immer 2m
> und die restlichen einträge sind 0, also die determinante
> det(M) = [mm](2m)^n[/mm] ist???
Ja.
> ist das des rätsels lösung...???
Nein.
Was Du jetzt mit der Determinante willst weiß ich nicht. Es gilt eher das von Dir hier zitierte.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Di 13.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!!
ich brauch doch die determinante um die definitheit zu untersuchen??
mit der quadratischen form aus dem zitat kann ich nicht so viel anfangen...
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> ich brauch doch die determinante um die definitheit zu
> untersuchen??
Definitiv nicht.
> mit der quadratischen form aus dem zitat kann ich nicht so
> viel anfangen...
[mm]Q(x)=x^THx[/mm]
Das ist eine quadratische Form. Und die soll immer größer Null sein. Das H ist deine Hessematrix. Mit anderen Worten H soll eine![[]](/images/popup.gif) positiv definite Matrix sein.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Di 13.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
danke für den link und deine erklärung! d.h. die die matrix von der aufgabe ist pos.definit da sie nur pos. Diagonalelemente hat?
aber die begründung über die det wäre nicht falsch, oder?
lg riley
edit: ist das x von der quadratischen Form ein beliebiger Vektor ?
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Hallo Riley,
> danke für den link und deine erklärung! d.h. die die
> matrix von der aufgabe ist pos.definit da sie nur pos.
> Diagonalelemente hat?
Geraten?
Allein die positiven Diagonalelemente reichen sicher nicht.
> aber die begründung über die det wäre nicht falsch, oder?
Doch hab ich doch geschrieben oder?
Das x muß ein beliebiger Vektor sein.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Di 13.06.2006 | | Autor: | Riley |
hi!
>>Geraten?
Allein die positiven Diagonalelemente reichen sicher nicht.<<
was reicht dann aus?
i'm sorry...aber meinst du das kriterium mit den eigenwerten? wir haben die definitheit nur über determinante erklärt, deshalb denke ich sollten wir die aufgaben auch damit lösen...
okay, vielen dank dir!
gruß riley
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Hallo Riley,
Eigentlich meinte ich folgende Überlegung(direkt aus der definition von Definitheit)
(x [mm] y)*\pmat{ 2m & 0 \\ 0 & 2m }*\vektor{x \\ y}=2m(x^2+y^2)
[/mm]
so eine Diagonalmatrix(Also alle Einträge außerhalb der Diagonalen gleich 0) mit positiven Einträgen muß also positiv definit sein. Hier gibt's dasselbe Thema.
> was reicht dann aus?
> i'm sorry...aber meinst du das kriterium mit den
> eigenwerten? wir haben die definitheit nur über
> determinante erklärt, deshalb denke ich sollten wir die
> aufgaben auch damit lösen...
Vermutlich hattet ihr das Kriterium mit den Hauptminoren
Was hier auch erfolgreich anwendbar ist. Man müsste aber eben auch dazusagen das die entsprechenden Teilmatrizen ebenfalls eine Determinante größer als 0 haben.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mi 14.06.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!!
Vielen Dank für deine erklärungen und die links. das mit der diagonalmatrix ist echt gut, nur was mach ich wenn die hessematrix keine diagonalmatrix ist? dann brauch ich das hauptminoren-krit. ?
viele grüße
riley :)
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Hallo Riley,
Das Hauptminorenkriterium ist sicher allgemeingültiger. Ist ja auch hier anwendbar. Damit diese Teilmatrizen alle eine pos. Determinante haben müssen ja alle Diagonalelemente größer 0 sein. Es ist aber sicher oft schwierig alle Determinanten dieser Teilmatrizen bestimmen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Riley |
hihi mathemaduenn!
ooops - i'm sorry... da hab ich wohl was verwechselt... ich mein natürlich liebes Matheraum - Team ! :)
gruß riley
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![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]"){kind=small}
- ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
"Matheplanet" Nein auch falsch ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
