Abstrakte Induktionsaufgabe < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mo 24.05.2010 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | Es sei ein Polynom p und [mm] \lambda \in \IC [/mm] gegeben. Mit [mm] P=(\bruch{d}{dx})soll [/mm] gelten:
[mm] p(P)(xe^{\lambda x})=p(\lambda )xe^{\lambda x}+p'(\lambda )e^{\lambda x} [/mm] |
Hallo, ich soll obige Induktion durchführen!
ich schreibe mal auf, was ich bisher habe:
I.A: n=0 - Polynom vom Grad 0
[mm] p:=p_0
[/mm]
[mm] p_0((\bruch{d}{dx}))xe^{\lambda x}=p_0xe^{\lambda x}
[/mm]
[mm] p_0(xe^{\lambda x})+0*e^{\lambda x}=p_0xe^{\lambda x}
[/mm]
Also gilt es!
I.V:
[mm] p((\bruch{d}{dx}))(xe^{\lambda x})=p(\lambda )xe^{\lambda x}+p'(\lambda )e^{\lambda x}
[/mm]
I.S:
n->n+1
Ziel:
[mm] xe^{\lambda x}(p_0+p_1(\bruch{d}{dx})+...+p_n((\bruch{d}{dx})^n+p_{n+1}(\bruch{d}{dx})^{n+1})=(p_0+p_1*\lambda +...+p_n*(\lambda)^n)*x*e^{\lambda x} +(p_1+...+np_n*(\lambda)^{n-1}+(n+1)*p_{n+1}*(\lambda)^n)*e^{\lambda x}
[/mm]
Könnte das bitte mal jemand soweit überprüfen und mich bei fehlern berichtigen und mir erklären, was ich falsch gemacht habe!? ich hatte das Thema bereits auf einem anderen Forum begonnen, aber da hat es irgendwie gestoppt!
Vielen dank schonmal
LariC
|
|
| |
|
Zunächst sollte man sich die Arbeit nicht zu schwer machen. Denn wenn die Aussage für Polynome [mm]p,q[/mm] gilt, dann gilt sie auch für eine Linearkombination von [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm]. Zum Beweis sei
[mm]r = ap + bq \ \ \text{mit} \ \ a,b \in \mathbb{R}[/mm]
eine solche. Die Ableitung von [mm]r[/mm] ist gemäß Summen- und Faktorregel
[mm]r' = ap' + bq'[/mm]
Und für [mm]f(x) = x \operatorname{e}^{\lambda x}[/mm] folgt dann
[mm]r(P) \left( x \operatorname{e}^{\lambda x} \right) = \left( ap(P) + bq(P) \right) \left( x \operatorname{e}^{\lambda x} \right) = ap(P) \left( x \operatorname{e}^{\lambda x} \right) + bq(P) \left( x \operatorname{e}^{\lambda x} \right) = a \left( p(\lambda) x \operatorname{e}^{\lambda x} + p'(\lambda) \operatorname{e}^{\lambda x} \right) + b \left( q(\lambda) x \operatorname{e}^{\lambda x} + q'(\lambda) \operatorname{e}^{\lambda x} \right)[/mm]
[mm]= \left( a p(\lambda) + b q(\lambda) \right) x \operatorname{e}^{\lambda x} + \left( a p'(\lambda) + b q'(\lambda) \right) \operatorname{e}^{\lambda x} = r(\lambda) x \operatorname{e}^{\lambda x} + r'(\lambda) \operatorname{e}^{\lambda x}[/mm]
Es genügt folglich, die Aussage für den Spezialfall [mm]p(T) = T^n[/mm] nachzuweisen. Für [mm]n=0[/mm] wäre das
[mm]f^{(0)}(x) = 1 \cdot x \operatorname{e}^{\lambda x} + 0 \cdot \operatorname{e}^{\lambda x}[/mm]
was offenbar richtig ist. Und für [mm]n \geq 1[/mm] wäre noch zu zeigen:
[mm]f^{(n)}(x) = \lambda^n x \operatorname{e}^{\lambda x} + n \lambda^{n-1} \operatorname{e}^{\lambda x}[/mm]
Das geht aber leicht per Induktion nach [mm]n[/mm].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mo 24.05.2010 | | Autor: | LariC |
Hallo Leopold, vielen Dank für dein Antwort!
Aber mir sind zwei Sachen noch nicht klar geworden:
1.) Wie kommst du zu dieser Umformung?
> [mm] ap(P) \left( x \operatorname{e}^{\lambda x} \right) + bq(P) \left( x \operatorname{e}^{\lambda x} \right) = a \left( p(\lambda) x \operatorname{e}^{\lambda x} + p'(\lambda) \operatorname{e}^{\lambda x} \right) + b \left( q(\lambda) x \operatorname{e}^{\lambda x} + q'(\lambda) \operatorname{e}^{\lambda x} \right)[/mm]
Mir ist klar das P bedeutet, dass von allem danach die Ableitung gebildet werden soll, aber warum fällt das x dann im jeweils zweiten Summanden weg und warum plötzlich [mm] p(\lambda)?
[/mm]
2.) und warum kannst du das nun behaupten :
> Es genügt folglich, die Aussage für den Spezialfall [mm]p(T) = T^n[/mm]
> nachzuweisen.
und lässt dann in:
> [mm]f^{(n)}(x) = \lambda^n x \operatorname{e}^{\lambda x} + n \lambda^{n-1} \operatorname{e}^{\lambda x}[/mm]
den Teil mit dem Polynom ja eigentlich völlig weg?
Grüsse lariC
|
|
|
| |
|
Da fällt kein [mm]x[/mm] plötzlich weg. Ich habe ja vorausgesetzt, daß die Behauptung für [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm] schon gelten soll. Im Prinzip ist das eine "Induktion über den Aufbau eines Polynoms".
Induktionsannahme: Behauptung gilt für [mm]p[/mm] und [mm]q[/mm]
Induktionsbehauptung: Behauptung gilt für [mm]ap+bq[/mm]
Beweis: siehe meine Rechnung
Jetzt ist noch die Induktionsverankerung nachzuholen: Behauptung gilt für Potenzen [mm]p(T)=T^n[/mm]
Und diese Induktionsverankerung kann man jetzt mit einer klassischen Induktion nach [mm]n[/mm] erledigen (Induktion in der Induktion). Das ist es, was am Schluß meines Beitrages steht.
Das Ganze funktioniert deshalb, weil sich alle Polynome aus den Potenzen [mm]T^n[/mm] mittels Addition und skalarer Multiplikation aufbauen lassen: [mm]ap + bq[/mm].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 24.05.2010 | | Autor: | LariC |
Danke - ok - ich denke die zweite Frage ist damit geklärt! Die Idee mit der Lk ist zwar auf den ersten Blick etwas irritierend, aber scheint dann doch gut gewählt!
Aber ich verstehe deine Umformung:
> [mm] ap(P) \left( x \operatorname{e}^{\lambda x} \right) + bq(P) \left( x \operatorname{e}^{\lambda x} \right) = a \left( p(\lambda) x \operatorname{e}^{\lambda x} + p'(\lambda) \operatorname{e}^{\lambda x} \right) + b \left( q(\lambda) x \operatorname{e}^{\lambda x} + q'(\lambda) \operatorname{e}^{\lambda x} \right)[/mm]
trotzdem immernoch nicht!
Was hast du da genau gemacht?
Könntest du deinen Schrittt da bitte nochmal kurz erläutern?
Danke - Grüsse von LariC
|
|
|
| |
|
Und ich verstehe deine Frage nicht.
[mm]p(P) \left( x \operatorname{e}^{\lambda x} \right) = p(\lambda) x \operatorname{e}^{\lambda x} + p'(\lambda) \operatorname{e}^{\lambda x}[/mm]
Das hast du doch selbst ganz am Anfang in deiner Aufgabe geschrieben. Warum ziehst du also deine eigene Aufgabe in Zweifel? Und wenn ich für [mm]p[/mm] (und [mm]q[/mm]) die Gültigkeit voraussetze, darf ich das auch anwenden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Di 25.05.2010 | | Autor: | LariC |
Ok..ich war einfach nur etwas blöd - habe es jetzt kapiert und meine Induktion auch eigentlich fertig - würde sie nicht irgendwie nicht klappen:
Ich habe folgendes Problem an einer Stelle:
[mm] (\lambda^n [/mm] x [mm] e^{\lambdaÜx} [/mm] + n* [mm] \lambda^{n}*e^{\lambda*x})'
[/mm]
[mm] =\lambda^{n+1}*x*e^{\lambda*x}+n*\lambda^{n}*e^{\lambda*x}
[/mm]
Eigentlich müsste aber rauskommen:
[mm] \lambda^{n+1}*x*e^{\lambda*x}+(n+1)*\lambda^{n}*e^{\lambda*x}
[/mm]
Vermutlich habe ich als beim zweiten Summanden die Ableitung falsch gebildet - aber was habe ich da falsch gemacht,es wird doch nach x abgeleitet, oder?!
LariC
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Di 25.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok..ich war einfach nur etwas blöd - habe es jetzt kapiert
> und meine Induktion auch eigentlich fertig - würde sie
> nicht irgendwie nicht klappen:
>
> Ich habe folgendes Problem an einer Stelle:
>
> [mm](\lambda^n[/mm] x [mm]e^{\lambdaÜx}[/mm] + n*
> [mm]\lambda^{n}*e^{\lambda*x})'[/mm]
>
> [mm]=\lambda^{n+1}*x*e^{\lambda*x}+n*\lambda^{n}*e^{\lambda*x}[/mm]
>
> Eigentlich müsste aber rauskommen:
>
> [mm]\lambda^{n+1}*x*e^{\lambda*x}+(n+1)*\lambda^{n}*e^{\lambda*x}[/mm]
>
> Vermutlich habe ich als beim zweiten Summanden die
> Ableitung falsch gebildet - aber was habe ich da falsch
> gemacht,es wird doch nach x abgeleitet, oder?!
Es ist
$ [mm] (\lambda^n [/mm] x [mm] e^{\lambdaÜx} [/mm] + [mm] n*\lambda^{n}\cdot{}e^{\lambda\cdot{}x})' [/mm] = [mm] \lambda^ne^{\lambda x}+\lambda^{n+1}xe^{\lambda x}+n \lambda^{n+1}xe^{\lambda x}$
[/mm]
FRED
> LariC
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Di 25.05.2010 | | Autor: | LariC |
Mhh...ich hatte mich vertippt, deswegen war dein Antwort zaw gut, aber leider wegen mir zu falschen frage, ich mache es dewegen nochmal ausfürlich - sry:
ich will doch zeigen:
[mm] f^{n}(x)=\lambda^n [/mm] *x* [mm] e^{\lambda*x}+n*\lambda^{n-1}*e^{\lambda*x}
[/mm]
Also ist mein ziel (mit n+1 eingesetzt):
[mm] f^{n+1}(x)=\lambda^{n+1}*x* e^{\lambda*x}+(n+1)*\lambda^{n}*e^{\lambda*x}
[/mm]
Also I.S:
[mm] f^{n+1}(x)=(\lambda^n [/mm] *x* [mm] e^{\lambda*x}+n*\lambda^{n-1}*e^{\lambda*x}
[/mm]
Alos jetzt Produktregel und es klappt!
Da müsste ja jetzt der rest meines Ziels hinkommen, aber ich weiß icht warum!?
Und leider kann ich da deine Gleichung auch noch nicht so einfügen, aber auf jeden fall schonmal vielen dank!
LariC
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Di 25.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich versteh nicht, warum du die klammer nicht einfach ableitest? vergiss beim 1. Term die produktregel nicht. dann kommts richtig raus.
sonst schreib deine Ableitung hin.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Di 25.05.2010 | | Autor: | LariC |
Du bist genial und ich bin so ....ohh...ich dachte es wäre der zweite teil und...!!! Supi!
tausendmal danke!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:16 Di 25.05.2010 | | Autor: | LariC |
erledigt...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Di 25.05.2010 | | Autor: | LariC |
Mal kurz eine Frage zum Pfad - wie kann ich die Rubrik meiner Frage ändern, weil das jetzt eigentlich eher in den Bereich der DGL gehört und ich das geren ändern würde?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Di 25.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo LariC!
Du kannst das nicht selber ändern. Aber ich habe den Thread nunmehr entsprechend verschoben.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
