Abwechseln Würfeln < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Phlipper |
Also es geht um folgende Aufgabe: Spieler A und B würfeln abwechseln, wer zuerst eine 6 würfelt hat gewonnen. A beginnt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass B gewinnt.
Also mein Ansatz ist, dass Ereignis A := A würfelt keine 6, P(A)=5/6 und B:=B würfelt eine 6 P(B) = 1/6. So dann muss ich ja irgendwie die Abhängikeit ins Spiel bringen, dass B nur gewinntn, wenn A eingetreten ist. Wie mache ich das ?
Freue mich über eure Hilfe !
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Hallo phlipper!
> Also es geht um folgende Aufgabe: Spieler A und B würfeln
> abwechseln, wer zuerst eine 6 würfelt hat gewonnen. A
> beginnt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass B
> gewinnt.
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> Also mein Ansatz ist, dass Ereignis A := A würfelt keine 6,
> P(A)=5/6 und B:=B würfelt eine 6 P(B) = 1/6. So dann muss
> ich ja irgendwie die Abhängikeit ins Spiel bringen, dass B
> nur gewinntn, wenn A eingetreten ist. Wie mache ich das ?
> Freue mich über eure Hilfe !
Denke an einen Wahrscheinlichkeitsbaum. Die erste Stufe ist das Ergebnis des Wurfs von A. Das Spiel geht überhaupt nur weiter, wenn A keine 6 würfelt. Die zweite Stufe schließt deshalb nur an diesem Ereignis an. Da die Würfelergebnisse unabhängig voneinander sind, sind die Wkt. auf jeder Stufe 5/6 und 1/6. Die Abhängigkeit erkennt man lediglich daran, dass der Baum nur dort fortgesetzt wird, wo A keine 6 gewürfelt hat. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass B bei seinem ersten Wurf gewinnt, beträgt also
[mm]\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}.[/mm]
ABER: B kann ja auch erst in einem späteren Zug gewinnen. Das musst Du auch noch berücksichtigen! Du wirst also eine Reihe bekommen.
Melde Dich, wenn Du nicht weiterkommst.
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:43 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Phlipper |
Danke für die schnelle Antwort. Also das habe ich auch so, die Wahrscheinlichkeit, dass B gewinnt sind 5/36 und die Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt sind 1/6, denn er wirft ja einfach den Würfel und, dass er eine 6 macht und gewinnt ist 1/6, also 6/36. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass B gewinnt 45,45 %, denke ich. Es sollte keine Reihe gebe, denn die Wahrscheinlichkeiten sind ja bei jedenm Wurf wieder gleich.
Aber danke für die Hilfe, war doch nicht so schwer. Oder habe ich einen Denkfehler ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Brigitte |
Hallo phlipper!
> Danke für die schnelle Antwort. Also das habe ich auch so,
> die Wahrscheinlichkeit, dass B gewinnt sind 5/36 und die
> Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt sind 1/6, denn er wirft
> ja einfach den Würfel und, dass er eine 6 macht und gewinnt
> ist 1/6, also 6/36.
> Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit,
> dass B gewinnt 45,45 %, denke ich. Es sollte keine Reihe
> gebe, denn die Wahrscheinlichkeiten sind ja bei jedenm Wurf
> wieder gleich.
> Aber danke für die Hilfe, war doch nicht so schwer. Oder
> habe ich einen Denkfehler ?
Was passiert denn, wenn keiner der beiden eine 6 würfelt? Ist dann das Spiel vorbei? Ich verstehe es so, dass es dann noch weiter geht. Nur ändern sich die Wahrscheinlichkeiten eben doch, weil man ja berücksichtigen muss, dass bis zu dieser Runde noch keine 6 gefallen ist. Deshalb wirst Du jedes Mal wieder den Faktor 5/6 draufmultiplizieren. Die Wkt, dass A in seinem zweiten Wurf gewinnt, ist dann z.B.
[mm]\left(\frac{5}{6}\right)^2\cdot \frac{1}{6}[/mm]
Mal Dir doch mal einen Baum dazu auf. Dann siehst Du, dass dieser niemals aufhört, und das Ereignis, dass B gewinnt, kommt immer wieder vor. Ich bleibe dabei, dass Du eine Reihe bekommst.
Viele Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Phlipper |
also was du da geschrieben hast,klingt logisch,aber leide rkann ich dir nicht folgen. Also wenn A im zweiten WUrf gewinnt, dann beträgt doch dies Wahrscheinlichkeit 1/6(1.Wurf) * 5/6 (Wahrscheinlichkeit,dass B keine 6 würfelt) * 1/6 (2.Wurf) und die Wahrscheinlichkeit, dass B im zweiten WUrf gewinnt ist dann 5/6 * 1/6 * 5/6 * 1/6 oder ?
Darauf folgt, dass B nach n Versuchen mit einer Wahrscheinlichkeit von (5/6)hoch n * (1/6) hoch n eine 6 vor A würfelt. Und für A dann (5/6)hoch n-1 * (1/6) hoch n.
Aber wie drücke ich jetzt diese Wahrscheinlichkeit in Prozenten aus ?
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Hallo phlipper!
> also was du da geschrieben hast,klingt logisch,aber leide
> rkann ich dir nicht folgen. Also wenn A im zweiten WUrf
> gewinnt, dann beträgt doch dies Wahrscheinlichkeit
> 1/6(1.Wurf)
Nein. Dann hätte er ja schon im ersten Versuch eine 6 gewürfelt, und das Spiel wäre beendet.
> * 5/6 (Wahrscheinlichkeit,dass B keine 6
> würfelt) * 1/6 (2.Wurf) und die Wahrscheinlichkeit, dass B
> im zweiten WUrf gewinnt ist dann 5/6 * 1/6 * 5/6 * 1/6 oder
> ?
> Darauf folgt, dass B nach n Versuchen mit einer
> Wahrscheinlichkeit von (5/6)hoch n * (1/6) hoch n eine 6
> vor A würfelt. Und für A dann (5/6)hoch n-1 * (1/6) hoch
> n.
Nein, nicht ganz (s.o.)
> Aber wie drücke ich jetzt diese Wahrscheinlichkeit in
> Prozenten aus ?
OK, ich halte noch mal fest. Sei [mm] $B_k$ [/mm] das Ereignis, dass Spieler B in seinem $k$-ten Wurf eine 6 würfelt [mm] ($k\ge [/mm] 1$)) und damit das Spiel gewinnt. Dann gilt:
[mm]P(B_1)=\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}[/mm]
[mm]P(B_2)=\left(\frac{5}{6}\right)^3\cdot \frac{1}{6}[/mm]
[mm]P(B_3)=\left(\frac{5}{6}\right)^5\cdot \frac{1}{6}[/mm]
usw.
Die Wkt., dass B überhaupt gewinnt, ergibt sich als SUmme dieser einzelnen Wkt.:
[mm]P(\mbox{B gewinnt})=P\left(\bigcup\limits_{k=1}^\infty\right)=\sum\limits_{k=1}^\infty P(B_k)[/mm]
[mm]=\sum\limits_{\ell=0}^\infty \left(\frac{5}{6}\right)^{2\ell+1}\cdot \frac{1}{6}[/mm]
Ab jetzt kommst Du bestimmt allein zurecht, oder?
Viele Grüße
Brigitte
P.S.: Dein erstes Ergebnis war ja nicht falsch; ich war nur nicht sicher, ob Du alles bedacht hast. Wenn man erkennt, dass gilt:
[mm]P(\mbox{A gewinnt})\cdot \frac{5}{6}=P(\mbox{B gewinnt}),[/mm]
kann man über
[mm]P(\mbox{A gewinnt})+P(\mbox{B gewinnt})=1[/mm]
schnell errechnen, dass [mm] $P(\mbox{B gewinnt})=\frac{5}{11}$. [/mm] Aber wie gesagt, mir ist es lieber, ich hake noch mal nach (was mir im Nachhinein auch sinnvoll erschien). Ich hoffe, Du siehst das auch so 
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