Abweichung vom Grenzwert < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] und für welche Werte n ist die Abweichung vom Grenzwert kleiner als [mm] \in.
[/mm]
a) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{4n-3}{2n+1}, \in=0,001
[/mm]
b) [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^2+3}{2n^2+1} [/mm] , [mm] \in=0,1 [/mm] |
Also bei der ersten soll angeblich n>=2500 raus kommen aber ich komm da nich drauf...
Für den lim von a hab ich 2 raus und hab hier komm ich dann nich weiter und bei der zweiten is es genauso..
Ich hoffe mir kann jemand helfen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Do 19.07.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Nadine
Am sinnvollsten ist für die Grenzwertbestimmung bei gebrochen Rationalen Folgen/Funktionen die Polynomdivision zu machen.
Also hier:
[mm] a_{n}=\bruch{4n-3}{2n+1}
[/mm]
[mm] (4n-3):(2n+1)=2-\bruch{5}{2n+1}
[/mm]
Wenn jetzt n gegen unendlich läuft, wird der hintere Teil immer kleiner, also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4n-3}{2n+1}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}2-\bruch{5}{2n+1}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}2-\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{5}{2n+1}
[/mm]
=2-0
=2
Für die Abweichung kleiner als [mm] \epsilon [/mm]
Hier suchst du das N, für das gilt:
[mm] a_{N}>(\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n})-\epsilon
[/mm]
da die Grenze hier "von unten" erreicht wird:
(würde sie "von oben" erreicht, würde gelten:
[mm] a_{N}<(\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n})+\epsilon)
[/mm]
Hier suchst du also das N, für das gilt:
[mm] \bruch{4n-3}{2n+1}>2-0,001
[/mm]
[mm] \gdw 2-\bruch{5}{2n+1}>2-0,001
[/mm]
[mm] \gdw-\bruch{5}{2n+1}>-0,001
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{5}{2n+1}\red{<}0,001
[/mm]
...
Für die andere Aufgabe gehst du analog vor.
Marius
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Also mir is klar was du damit erreichst aber wie kommst du bei der polynomendivision auf die 5 auf dem bruchstrich
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> Also mir is klar was du damit erreichst aber wie kommst du
> bei der polynomendivision auf die 5 auf dem bruchstrich
Hallo,
es ist 4n-3 = 2*(2n+1) -5.
Deshalb.
Gruß v. Angela
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Jo hab ich kapiert...
Aber wie komm ich dann mit der gleichung auf n>= 2500
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Do 19.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo bengel
ein bissel selbst denken!
[mm] 5/(2n+1)\le [/mm] 0,001 kannst du doch wohl nach n auflösen!
Gruss leduart
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Es tut mir leid wenn ich es selbst könnte würde ich es nicht hier rein setzen...
Ich habs nun mal nich so mit mathe und das ändert sich auch nich so schnell...
Aber ich danke euch alles für eure hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Do 19.07.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Also:
[mm] \bruch{5}{2n+1}\le0,001 [/mm] |*(2n+1)
[mm] \gdw 5\le0,001(2n+1)
[/mm]
[mm] \gdw 5\le0,002n+0,001
[/mm]
Den Rest machst du jetzt
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Do 19.07.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
[mm] (4n-3):(2n+1)=2-\bruch{5}{2n+1}
[/mm]
-(4n+2)
-5
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Do 19.07.2007 | | Autor: | Mumrel |
Wenn man Verwenden darf, dass [mm] \frac{1}{n} [/mm] f+r n gegen Unendlich gegen 0 geht kann man die Grentwerte solcher Aufgaben finde ich auch relativ schnell und elegant über erweitern lösen:
lim [mm] \frac{4n - 3}{2n + 1} [/mm] = lim [mm] \frac{(4n - 3) * \frac{1}{n}}{(2n + 1) * \frac{1}{n}} [/mm] = lim [mm] \frac{4 - \frac{3}{n}}{2 + \frac{1}{n}}
[/mm]
Jetzt ausnutzen dass [mm] \frac{1}{n} [/mm] gegen null geht, also steht oben:
= [mm] \frac{4 - 0}{2 + 0} [/mm] = 2
Grüe Mumrel
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