Abzählbar < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:17 Fr 18.08.2006 | | Autor: | timbvb |
Also,
wir haben bewiesen das [mm] \IR [/mm] überabzählbar und [mm] \IQ [/mm] abzählbar ist.
Des weiteren steht in unserem Buch(Forster Ana I), dass es mehr reelle als rationale Zahlen gibt, obwohl beide Mengen unendlich sind.
Ausserdem haben wir gezeigt, das [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt.
Aber wenn das so ist, dann müsste es ja eine bijektive Abildung von [mm] \IQ [/mm] nach [mm] \IR [/mm] geben und da es eine solche Abbildung von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IQ [/mm] gibt müsste dann auch eine von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IR [/mm] existieren, was ein Widerspruch zur Überabzählbarkeit wäre. Also müsste [mm] \IQ [/mm] auch überabzählbar sein.
Und das ist mein Problem, dass ganze ist irgendwie Paradox.
Oder liegt [mm] \IQ [/mm] doch nicht dicht in [mm] \IR?
[/mm]
Also wenn mir da jemand helfen könnte, dass wäre echt toll.
Danke schon mal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 Fr 18.08.2006 | | Autor: | Martin243 |
| Aufgabe | | Aber wenn das so ist, dann müsste es ja eine bijektive Abildung von [mm] \IQ [/mm] nach [mm] \IR [/mm] geben... |
Hallo,
so weit sind die Fakten in Ordnung, aber wie kommst du auf die Existenz einer bijektiven Abbildung?
Gruß
Martin
P.S. Für die Mengen Backslash [mm] \backslash [/mm] benutzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Fr 18.08.2006 | | Autor: | timbvb |
Hi,
also das schließe ich aus dem "liegt dicht in".
Denn wenn es zwei Zahlen in [mm] \IR [/mm] geben würde, zwischen denen keine aus [mm] \IQ [/mm] liegt, würde sie ja nicht mehr dicht in der Menge liegen. Also gibt es genauso viele Zahlen in [mm] \IQ [/mm] wie in [mm] \IR, [/mm] was laut Buch aber nicht der Fall ist.
Wenn zwei Mengen gleich viele Elemente enthalten, dann müsste es doch eine bijektive Abbildung geben, oder nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 So 20.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> also das schließe ich aus dem "liegt dicht in".
>
> Denn wenn es zwei Zahlen in [mm]\IR[/mm] geben würde, zwischen denen
> keine aus [mm]\IQ[/mm] liegt, würde sie ja nicht mehr dicht in der
> Menge liegen. Also gibt es genauso viele Zahlen in [mm]\IQ[/mm] wie
> in [mm]\IR,[/mm] was laut Buch aber nicht der Fall ist.
Nach der Argumentation hat [mm] $\IQ$ [/mm] viel mehr Zahlen als [mm] $\IN$. [/mm] Und da du weisst, das [mm] $\IQ$ [/mm] und [mm] $\IN$ [/mm] trotzdem bijektiv aufeinander abbildbar sind, muesste das dir einen Wink geben das du so nicht argumentieren kannst.
LG Felix
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Hallo!
Auch wenn es für dich paradox klingt: [mm] $\IQ$ [/mm] ist zwar dicht in [mm] $\IR$, [/mm] aber es existiert keine Bijektion von [mm] $\IQ$ [/mm] nach [mm] $\IR$.
[/mm]
Denn auch wenn zwischen zwei irrationalen Zahlen stets eine rationale liegt und umgekehrt, so hat doch keine rationale Zahl einen eindeutigen irrationalen "Nachbarn". Das wäre aber gerade das, was du für eine Bijektion brauchst!
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Fr 18.08.2006 | | Autor: | timbvb |
Also,
das mit dem Nachbarn verstehe ich.
Aber sind die Mengen jetzt gleichmächtig oder nicht?
Denn wenn sie es nicht sind, wäre das mit dem "dicht in" doch falsch, oder?
Und laut unserem Buch gibt es mehr irrationale als rationale Zahlen, und das passt irgendwie nicht zusammen mit der Mächtigkeit.
Denn wenn sie es nicht sind, wäre das mit dem "dicht in" doch falsch, oder?
Unter welchen Begriffen könnte man was dazu im Internet suchen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Fr 18.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo tim
Ich glaub, du hast die Definition von "dicht" nicht genau verstanden. Es scheint mir, dass du unter dicht verstehst, dass man jeden Punkt auf der Zahlengerade erreicht! Das ist aber nicht richtig! Wenn du die Zahlengerade an irgendeiner Stelle (in gedanken) durchschneidest, ist die Wahrscheinlichkeit, dass du nen rationalen Punkt erwischst praktisch 0! Meist hast du nen reellen Punkt!
Dicht heisst eben genau nur das, wodurch es definiert ist: zwischen 2 beliebigen Punkten bezw. Zahlen liegt noch mindestens eine weitere!
Die Schwierigkeit mit den Anfängen der exakten Mathe ist, dass die Definitionen sehr genau gelesen werden müssen, und nicht einfach durch ein "Bild" ersetzt werden können.
Also schmeiss dein Bild von dicht raus und halt dich an die Definition!
Gruss leduart
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