Abzählbarer Schnitt < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich zerbreche mir über folgende Frage den Kopf:
Angenommen, wir haben eine überabzählbare Menge, zum Beispiel die reellen Zahlen und wir haben eine abzählbare Folge von Elementen in dieser Menge, zum Beispiel die natürlichen Zahlen [mm] x_n [/mm] = n.
Können wir dann den Schnitt zwischen der Grundmenge und der Vereinigung aller abzählbar vielen Elemente respektive den Schnitt über die Mengen [mm] R_n [/mm] = R [mm] \backslash [/mm] {n} bilden.
In dem Fall mit den natürlichen Zahlen würden wir einfach R [mm] \backslash [/mm] N bekommen, doch funktioniert diese Konstruktion auch für eine allgemeine (abzählbare) Folge?
Vielen Dank!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:03 Mo 02.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ich zerbreche mir über folgende Frage den Kopf:
> Angenommen, wir haben eine überabzählbare Menge, zum
> Beispiel die reellen Zahlen und wir haben eine abzählbare
> Folge von Elementen in dieser Menge, zum Beispiel die
> natürlichen Zahlen [mm]x_n[/mm] = n.
> Können wir dann den Schnitt zwischen der Grundmenge und
> der Vereinigung aller abzählbar vielen Elemente respektive
> den Schnitt über die Mengen [mm]R_n[/mm] = R [mm]\backslash[/mm] {n} bilden.
> In dem Fall mit den natürlichen Zahlen würden wir einfach
> R [mm]\backslash[/mm] N bekommen, doch funktioniert diese
> Konstruktion auch für eine allgemeine (abzählbare) Folge?
Machen wir das mal allgemeiner: du hast eine Menge $X$ und eine Familie von Teilmengen [mm] $T_i \subseteq [/mm] X$, wobei $i [mm] \in [/mm] I$ ist, mit $I$ einer beliebigen Menge (in deinem Fall ist $I = [mm] \IN$, [/mm] $X = [mm] \IR$, $T_i [/mm] = [mm] \{ x_i \}$).
[/mm]
Dann gilt immer $X [mm] \cap \bigcup_{i \in I} T_i [/mm] = [mm] \bigcup_{i \in I} T_i [/mm] = X [mm] \setminus \bigcap_{i \in I} [/mm] (X [mm] \setminus T_i)$.
[/mm]
Das ist uebrigens ein ![[]](/images/popup.gif) Gesetz von De Morgan.
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank für deine Antwort.
Die Frage, die sich mir stellt ist insbesondere, ob ein solcher Schnitt über eine Familie von Mengen als Objekt Menge tatsächlich existiert, ob ich also (inbesondere bei abzählbaren Schnitten) immer davon ausgehen kann, dass das Objekt, das ich als Schnitt bezeichne eine Menge ist:
Ich habe eine überabzählbare Menge M und eine abzählbare Folge von Elementen in M, ich ziehe aus der Menge alle Folgenelemente ab. Ist das Ergebnis eine klar definierte (überabzählbare) Menge, mit der ich in jedem Fall weiter arbeiten darf?
Eine konkrete Antwort würde mir wirklich sehr weiterhelfen! Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Mo 02.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> vielen Dank für deine Antwort.
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> Die Frage, die sich mir stellt ist insbesondere, ob ein
> solcher Schnitt über eine Familie von Mengen als Objekt
> Menge tatsächlich existiert, ob ich also (inbesondere bei
> abzählbaren Schnitten) immer davon ausgehen kann, dass das
> Objekt, das ich als Schnitt bezeichne eine Menge ist:
Wenn die Indexmenge eine Menge ist, dann existiert der Schnitt wieder als Menge. Dies folgt (wuerde ich sagen) aus dem Axiom of Union (erstmal alle Mengen vereinigen um eine Uebermenge $M$ zu erhalten) und dem Axoim of Separation (man waehlt aus $M$ die Elemente aus, die in jeder der gewuenschten Teilmenge drinnen liegt).
> Ich habe eine überabzählbare Menge M und eine abzählbare
> Folge von Elementen in M, ich ziehe aus der Menge alle
> Folgenelemente ab. Ist das Ergebnis eine klar definierte
> (überabzählbare) Menge, mit der ich in jedem Fall weiter
> arbeiten darf?
Ja, dem ist so.
LG Felix
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