Abzählbarkeit < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Mi 29.08.2012 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Zeige ob folgende Funktion abzählbar, höchst abzählbar oder überabzählbar ist!
[mm] B:=\{f:\IN\Rightarrow\IN: f(n)=f(n+2) \forall n\in \IN\} [/mm] |
Halli Hallo,
also auch hier ist ja eigendlich gemeint, dass f(n) genau die übernächste Funktion ist oder?
Das heißt, habe ich [mm] f_1(n)=1 [/mm] so ist auch [mm] f_1(n+2)=1.
[/mm]
Das kann ich natürlich mit beliebig vielen [mm] machen:f_2,f_3, f_4 [/mm] etc. Ich habe also wieder eine konstante Funktion und die ist abzählbar?
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Hiho,
> Zeige ob folgende Funktion abzählbar, höchst abzählbar oder überabzählbar ist!
bitte poste die Fragestellung nächste Mal richtig! So lautet sie unter Garantie nicht, denn so macht sie keinen Sinn. Eine Funktion kann nicht abzählbar oder überabzählbar sein.
> [mm]B:=\{f:\IN\Rightarrow\IN: f(n)=f(n+2) \forall n\in \IN\}[/mm]
Das ist keine Funktion, sondern eine Menge! Und zwar eine Menge von Funktionen!
> also auch hier ist ja eigendlich gemeint, dass f(n) genau
> die übernächste Funktion ist oder?
Was für eine übernächste Funktionen?
Das ist eine Menge von Funktionen, die alle eine bestimmte Eigenschaft haben, welche?
Beschreibe die Funktionen mal in Worten.
> Das heißt, habe ich [mm]f_1(n)=1[/mm] so ist auch [mm]f_1(n+2)=1.[/mm]
Ja, z.B.
Schreibe das nochmal in Worten auf, denn verstanden hast du es vermutlich noch nicht.
> Das kann ich natürlich mit beliebig vielen [mm]machen:f_2,f_3, f_4[/mm]
> etc. Ich habe also wieder eine konstante Funktion und die ist abzählbar?
Die Funktionen müssen nicht konstant sein!
Mach dir das mal an einem einfachen Beispiel klar.
Wenn du verstanden hast, wie die Funktionen aussehen, sehen wir weiter.
Und mach dir nochmal klar, was der Unterschied zwischen Mengen und Funktionen ist.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Mi 29.08.2012 | | Autor: | durden88 |
> Hiho,
>
> > Zeige ob folgende Funktion abzählbar, höchst abzählbar
> oder überabzählbar ist!
>
> bitte poste die Fragestellung nächste Mal richtig! So
> lautet sie unter Garantie nicht, denn so macht sie keinen
> Sinn. Eine Funktion kann nicht abzählbar oder
> überabzählbar sein.
>
> > [mm]B:=\{f:\IN\Rightarrow\IN: f(n)=f(n+2) \forall n\in \IN\}[/mm]
>
> Das ist keine Funktion, sondern eine Menge! Und zwar eine
> Menge von Funktionen!
>
> > also auch hier ist ja eigendlich gemeint, dass f(n) genau
> > die übernächste Funktion ist oder?
>
> Was für eine übernächste Funktionen?
> Das ist eine Menge von Funktionen, die alle eine bestimmte
> Eigenschaft haben, welche?
> Beschreibe die Funktionen mal in Worten.
Ja nun, sie haben alle die Eigenschaft, dass die Funktion den Wert der Übernächsten Abbildet. Das heißt f(1)=f(3)=f(5)....=f(n+2) Und diese Funktionen bilden dann folglich alle den gleichen Wert ab :)
> > Das heißt, habe ich [mm]f_1(n)=1[/mm] so ist auch [mm]f_1(n+2)=1.[/mm]
>
> Ja, z.B.
> Schreibe das nochmal in Worten auf, denn verstanden hast
> du es vermutlich noch nicht.
ist ja glaub ich das was ich oben geschrieben habe?
> > Das kann ich natürlich mit beliebig vielen [mm]machen:f_2,f_3, f_4[/mm]
> > etc. Ich habe also wieder eine konstante Funktion und die
> ist abzählbar?
>
> Die Funktionen müssen nicht konstant sein!
> Mach dir das mal an einem einfachen Beispiel klar.
>
> Wenn du verstanden hast, wie die Funktionen aussehen, sehen
> wir weiter.
> Und mach dir nochmal klar, was der Unterschied zwischen
> Mengen und Funktionen ist.
check
> MFG,
> Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Mi 29.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, also die Abbildung in deiner Menge sind alle so beschaffen, dass f(1)=f(3)=f(5)=... gilt. Was weißt du über die anderen Werte von f? Kannst du ein paar Beispiele für diese Abbildungen angeben? Wenn du genau weißt, was überhaupt in deiner Menge B drinnen steckt, dann kannst du leicht eine Bijektion zwischen B und einer anderen Menge finden, von der du weißt, wie es mit ihrer Kardinalität aussieht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mi 29.08.2012 | | Autor: | durden88 |
> Hi!
>
> Ok, also die Abbildung in deiner Menge sind alle so
> beschaffen, dass f(1)=f(3)=f(5)=... gilt. Was weißt du
> über die anderen Werte von f? Kannst du ein paar Beispiele
> für diese Abbildungen angeben? Wenn du genau weißt, was
> überhaupt in deiner Menge B drinnen steckt, dann kannst du
> leicht eine Bijektion zwischen B und einer anderen Menge
> finden, von der du weißt, wie es mit ihrer Kardinalität
> aussieht.
Jo da sieht man ja schon, wenn ich bei 1 Anfange, werden auf jeden fall alle ungeraden Zahlen von n abgebildet also f(1)=f(3)=f(5) usw. aber wenn ich bspw. [mm] 0\in \IN [/mm] ist, dann hab ich ja auch f(0)=f(2)=f(4) usw. also alle geraden mit dabei! Und die bilden ja jede x-beliebige Zahl ab 1,2,3,4,5 etc. also ist die Kardinalität genau die der [mm] \IN? [/mm] Und damit auch abzählbar :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mi 29.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Also du weißt, dass [mm] $f(1)=f(3)=...=a\in \IN$ [/mm] ist. Das heißt, dass f alle ungeraden Zahlen auf ein festes a abbildet.
Andererseits weißt du, dass [mm] $(f(0)=)f(2)=f(4)=...=b\in\IN$. [/mm] d.h. f schmeißt alle ungeraden zahlen auf eine feste Zahl b.
Gib am besten mal 2-3 Beispiele für solche Abbildungen an. Es ist hier wichtig genau zu verstehen, die diese Dinger eigentlich aussehen.
Und bei Abbildungen ist es immer so, dass jede Zahl aus dem Definitionsbereich auf irgendwas abgebildet wird. Das musst du nicht zeigen oder besonders hervorheben. :) Abbildungen sind Dinger, denen du jede zahl aus dem Definitionsbereich (hier: [mm] \IN) [/mm] geben kannst und die dir immer etwas aus dem Wertebereich (hier: auch [mm] \IN) [/mm] liefern. Von daher ist es klar, dass f(0), f(1), f(2), ... irgendwelche natürlichen Zahlen sein werden. Aber welche spezielle Struktur die f's haben, muss noch beachtet werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mi 29.08.2012 | | Autor: | durden88 |
> Also du weißt, dass [mm]f(1)=f(3)=...=a\in \IN[/mm] ist. Das
> heißt, dass f alle ungeraden Zahlen auf ein festes a
> abbildet.
>
> Andererseits weißt du, dass [mm](f(0)=)f(2)=f(4)=...=b\in\IN[/mm].
> d.h. f schmeißt alle ungeraden zahlen auf eine feste Zahl
> b.
>
> Gib am besten mal 2-3 Beispiele für solche Abbildungen an.
> Es ist hier wichtig genau zu verstehen, die diese Dinger
> eigentlich aussehen.
> Und bei Abbildungen ist es immer so, dass jede Zahl aus dem
> Definitionsbereich auf irgendwas abgebildet wird. Das musst
> du nicht zeigen oder besonders hervorheben. :) Abbildungen
> sind Dinger, denen du jede zahl aus dem Definitionsbereich
> (hier: [mm]\IN)[/mm] geben kannst und die dir immer etwas aus dem
> Wertebereich (hier: auch [mm]\IN)[/mm] liefern. Von daher ist es
> klar, dass f(0), f(1), f(2), ... irgendwelche natürlichen
> Zahlen sein werden. Aber welche spezielle Struktur die f's
> haben, muss noch beachtet werden.
Danke schonmal für deine Antwort. Also hier wird ja so oder so von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IN [/mm] abgebildet oder? Müssen denn die Funktionen mit geraden n auch gerade Zahlen abbilden? Und andersrum, die Funktionen mit geraden n auch gerade Zahlen? Eigendlich nicht oder? so kann doch ob gerade oder ungerade n, jede Funktion alles Abbilden von [mm] \IN [/mm] oder?
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Hiho,
> Danke schonmal für deine Antwort. Also hier wird ja so
> oder so von [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IN[/mm] abgebildet oder?
Ja.
> Müssen denn die Funktionen mit geraden n auch gerade Zahlen abbilden? Und andersrum, die Funktionen mit geraden n auch gerade Zahlen? Eigendlich nicht oder? so kann doch ob gerade oder ungerade
> n, jede Funktion alles Abbilden von [mm]\IN[/mm] oder?
Was meinst du mit Funktionen mit geradem n? Solche Funktion gibt es nicht.
Wenn du meinst, ob Funktionen gerade Zahlen auf gerade Zahlen abbilden müssen, dann lautet die Antwort nein.
Noch immer nicht hast du den von Teufel und mir gegebenem Vorschlag mal beherzigt und mal eine Beispielfunktion angegeben.
Also mach das mal!
Nenn doch mal ein Beispiel aus der Menge B. Wie sehen die Funktionen denn aus? Dann wird auch schnell klar, zu welcher Menge deine gegebene bijektiv ist.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mi 29.08.2012 | | Autor: | durden88 |
f(1)=f(3)=f(5)=f(7)=3
f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=2
:)
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Hiho,
> f(1)=f(3)=f(5)=f(7)=3
>
> f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=2
>
> :)
Und was ist mit [mm] $8,9,10,\ldots$ [/mm] ?
Und im nächsten Schritt bitte allgemein: Anstatt 2,3 steht dann da?
Also lässt sich jede Funktion durch ..... darstellen, wobei ..... aus ?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Do 30.08.2012 | | Autor: | durden88 |
> Hiho,
>
> > f(1)=f(3)=f(5)=f(7)=3
> >
> > f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=2
> >
> > :)
>
> Und was ist mit [mm]8,9,10,\ldots[/mm] ?
> Und im nächsten Schritt bitte allgemein: Anstatt 2,3
> steht dann da?
Ja also zum einen sind es die Mengen der Funktionen f(n+1) und die Mengen der Funktionen f(n+2)(obwohl aber die Eingrenzung nur für die Mengen der Funktion f(n+2) da waren..)
> Also lässt sich jede Funktion durch ..... darstellen,
> wobei ..... aus ?
Eigendlich lässt sich die Funktion ja auch als f(n) darstellen, weil ja alle Elemente von [mm] \IN [/mm] abgebildet werden?
>
> MFG,
> Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Do 30.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi nochmal!
Ich glaube, wir reden etwas aneinander vorbei. :) Ich gebe mal einen Tipp. Sagen wir, [mm] \IN [/mm] fängt bei 1 an.
Dann sind die Werte von f (von n=1 beginnend) a b a b a b a b a b... d.g. wenn du f(1) und f(2) festlegst, dann ist schon die ganze Abbildung festgelegt. Du hast also einen beliebigen Spielraum für f(1) und f(2) (diese müssen eben nur in [mm] \IN [/mm] liegen).
Kannst du nun eine Bijektion von B auf z.B. [mm] \IN^2 [/mm] angeben?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Do 30.08.2012 | | Autor: | durden88 |
Danke für die Antwort.
> Hi nochmal!
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> Ich glaube, wir reden etwas aneinander vorbei. :) Ich gebe
> mal einen Tipp. Sagen wir, [mm]\IN[/mm] fängt bei 1 an.
>
> Dann sind die Werte von f (von n=1 beginnend) a b a b a b a
> b a b... d.g.
also ich habe eine alternierende Abbildung?...könntest du mir dort ein Beispiel geben?
wenn du f(1) und f(2) festlegst, dann ist
> schon die ganze Abbildung festgelegt. Du hast also einen
> beliebigen Spielraum für f(1) und f(2) (diese müssen eben
> nur in [mm]\IN[/mm] liegen).
>
> Kannst du nun eine Bijektion von B auf z.B. [mm]\IN^2[/mm] angeben?
Das verstehe ich nicht :( Bitte seit auch nicht alt zu streng mit mir, ich versuche es wirklich zu verstehen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Do 30.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Ja, die Abbildung ist alternierend. Beispiel: Sie fängt an mit f(1)=10. Danach kommt f(2)=5 meinetwegen. Alles was danach kommt, muss sich nach f(n+2)=f(n) richten. Also gilt f(3)=f(1+2)=f(1)=10, f(4)=f(2+2)=f(2)=5, f(5)=f(3)=10, ...
kennst du also f(1) und f(2) z.B., dann gibt es für alle anderen Werte von f keinen Spielraum mehr.
Ist das erst einmal klar?
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