Abzählbarkeit Ereignisse < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei B eine Indexmenge und [mm] (A_{\beta})_{\beta \in B} [/mm] eine Familie von paarweisen disjunkten Ereignissen, d.h. [mm] A_{\beta}\cap A_{\gamma}=\emptyset, [/mm] mit [mm] \IP(A_{\beta})>0 [/mm] für alle [mm] \beta \in [/mm] B. Zeigen Sie, dass B höchstens abzählbar ist. |
Hallo,
könnte man das evtl. folgendermaßen lösen?
Wir definieren [mm] \Gamma:=\{A_{\beta}\in\mathcal{A}|\IP(A_{\beta})>0\} [/mm] und eine Teilmenge [mm] \Gamma_{n} :=\{A_{\beta}\in\mathcal{A}|\IP(A_{\beta})=\bruch{1}{n}, n \in \IN\}.
[/mm]
Die Mächtigkeit dieser Menge kann für jedes n [mm] \in \IN [/mm] höchstens n betragen, da [mm] \IP(\Omega)=1.
[/mm]
Es gilt: [mm] \Gamma=\bigcup_{n=1}^{\infty}\Gamma_{n}. [/mm]
[mm] \Gamma [/mm] lässt sich als Vereinigung von abzählbar vielen Mengen mit abzählbar vielen Elementen darstellen. Dementsprechend gilt, dass B auch nur höchstens abzählbar ist.
Könnte man das so schreiben?
LG 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Fr 23.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum soll denn $ [mm] \Gamma=\bigcup_{n=1}^{\infty}\Gamma_{n}. [/mm] $
gelten sei [mm] p(A_7)=1/\pi [/mm] wo lommt das in deiner Vereinigung vor?
Gruß leduart
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Hi,
stimmt, da hast du recht..
Wie könnte man den Beweis denn stattdessen aufziehen? [mm] \Gamma_{n}:=\{A_{\beta} \in \Gamma | \IP(A_{\beta})>\bruch{1}{n}, n \in \IN, n > 1\}?
[/mm]
Dann würde ja gelten: [mm] \Gamma=\bigcup_{n=2}^{\infty}\Gamma_{n}
[/mm]
LG
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Hiho,
> Wie könnte man den Beweis denn stattdessen aufziehen?
> [mm]\Gamma_{n}:=\{A_{\beta} \in \Gamma | \IP(A_{\beta})>\bruch{1}{n}, n \in \IN, n > 1\}?[/mm]
>
> Dann würde ja gelten:
> [mm]\Gamma=\bigcup_{n=2}^{\infty}\Gamma_{n}[/mm]
das stimmt, nur wie machst du dann weiter?
Wie viele Elemente können denn in [mm] \Gamma_n [/mm] liegen?
Gruß,
Gono.
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Die Menge kann doch auch höchstens n betragen wegen [mm] \IP(\Omega)=1 [/mm] oder?
Ansonsten steh ich jetzt grad ein wenig auf'm Schlauch...
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Hiho,
> Die Menge kann doch auch höchstens n betragen
lerne dich korrekter auszudrücken: Die Anzahl an Elementen in der Menge ist höchstens n.
Ansonsten stimmt es.
Was heißt das für [mm] $\Gamma$?
[/mm]
Gruß,
Gono.
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[mm] \Gamma [/mm] lässt sich als Vereinigung von abzählbar vielen Mengen mit abzählbar vielen Elementen darstellen. Dementsprechend gilt, dass auch [mm] \Gamma [/mm] und somit B abzählbar ist.
Würde ich jetzt so schreiben
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Hiho,
> mit abzählbar vielen Elementen
sogar endlich vielen!
> Dementsprechend gilt, dass auch [mm]\Gamma[/mm] und somit B abzählbar ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 So 25.05.2014 | | Autor: | derriemann |
Super, vielen Dank!!
LG
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