Abzählbarkeit von (0,1) < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich beschäftige mich gerade mit dem Begriff der Abzählbarkeit und habe auch geglaubt ihn verstanden zu haben.
Es geht um die Abzählbarkeit der abzählbaren Vereinung von abzählbaren Mengen. Ich habe bereits bewiesen, dass die Aussage für zwei abzählbare Mengen gilt. Anschließend wollte ich über Induktion zeigen, dass dies auch für abzählbar viele abzählbare Mengen gilt.
In Symbolen ausgedrückt:
$A = [mm] \cup_{i \in \mathbb{N}} A_i$ [/mm] ist abzählbar, falls alle [mm] $A_i$ [/mm] abzählbar sind.
Um die Induktion führen zu können habe ich eine Indexmenge [mm] $I_k [/mm] := [mm] \{ n \in \mathbb{N} \mid n \leq k \}$ [/mm] für $k [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] definiert. Im Induktionsschluss habe ich diese Indexmenge dann durch [mm] $I_{k+1} [/mm] = [mm] I_k \cup \{ k+1 \}$ [/mm] zerlegt um die Induktionsvoraussetzung nutzen zu können. Soweit so gut, denke ich.. Den tatsächlichen Beweis kann und will ich (sehr gerne!) vorlegen, sollte sich meine Argumentation schon hier abwegig anhören.
Jedenfalls geht es mir nun darum, dass ich doch mit diesem Resultat problemlos (?!) zeigen kann, dass das reelle Intervall $(0,1)$ abzählbar sein muss. Was natürlich nicht stimmen kann.
Die Argumentation lautet:
Betrachte [mm] $M_i [/mm] := [mm] \left\lbrace \sum_{k=1}^{i} c_k \cdot10^{-k} \mid c_k \in \{ 0, 1,2, \dots, 9 \} \right\rbrace$ [/mm] für $i [mm] \in \mathbb{N}$. [/mm] Jede dieser Mengen ist abzählbar, da endlich, und verfügt über exakt [mm] $10^i$ [/mm] Elemente. Für $i=2$, wäre [mm] $M_2$ [/mm] beispielsweise die Menge aller Zahlen zwischen $[0,1)$, die höchstens zwei Nachkommastellen besitzen.
Dann müsste aber doch auch $ (0,1) [mm] \subseteq \cup_{i \in \mathbb{N}}M_i$ [/mm] abzählbar sein?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Mi 24.05.2017 | | Autor: | tobit09 |
Hallo TimeForCoffee,
> Es geht um die Abzählbarkeit der abzählbaren Vereinung
> von abzählbaren Mengen. Ich habe bereits bewiesen, dass
> die Aussage für zwei abzählbare Mengen gilt.
> Anschließend wollte ich über Induktion zeigen, dass dies
> auch für abzählbar viele abzählbare Mengen gilt.
>
> In Symbolen ausgedrückt:
> [mm]A = \cup_{i \in \mathbb{N}} A_i[/mm] ist abzählbar, falls alle
> [mm]A_i[/mm] abzählbar sind.
Ich glaube nicht, dass hier ein Induktionsbeweis sinnvoll weiterhilft.
Per Induktion lässt sich die Gültigkeit einer Aussage $B(n)$ für alle natürlichen [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] zeigen.
Welche Aussage sollte dies hier sein?
> Um die Induktion führen zu können habe ich eine
> Indexmenge [mm]I_k := \{ n \in \mathbb{N} \mid n \leq k \}[/mm] für
> [mm]k \in \mathbb{N}[/mm] definiert. Im Induktionsschluss habe ich
> diese Indexmenge dann durch [mm]I_{k+1} = I_k \cup \{ k+1 \}[/mm]
> zerlegt um die Induktionsvoraussetzung nutzen zu können.
Anscheinend hast du per Induktion folgende Aussage bewiesen: Jede ENDLICHE Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar.
Ich sehe nicht, wie wir daraus sinnvoll die Aussage "abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen sind abzählbar" ableiten können.
Einen (hoffentlich) korrekten Beweis findest du unter ![[]](/images/popup.gif) https://de.wikiversity.org/wiki/Abzählbare_Vereinigung_abzählbarer_Mengen/Abzählbar/Fakt.
> Jedenfalls geht es mir nun darum, dass ich doch mit diesem
> Resultat problemlos (?!) zeigen kann, dass das reelle
> Intervall [mm](0,1)[/mm] abzählbar sein muss. Was natürlich nicht
> stimmen kann.
In der Tat.
> Die Argumentation lautet:
> Betrachte [mm]M_i := \left\lbrace \sum_{k=1}^{i} c_k \cdot10^{-k} \mid c_k \in \{ 0, 1,2, \dots, 9 \} \right\rbrace[/mm]
> für [mm]i \in \mathbb{N}[/mm]. Jede dieser Mengen ist abzählbar,
> da endlich, und verfügt über exakt [mm]10^i[/mm] Elemente. Für
> [mm]i=2[/mm], wäre [mm]M_2[/mm] beispielsweise die Menge aller Zahlen
> zwischen [mm][0,1)[/mm], die höchstens zwei Nachkommastellen
> besitzen.
Bis hierhin korrekt.
> Dann müsste aber doch auch [mm](0,1) \subseteq \cup_{i \in \mathbb{N}}M_i[/mm]
> abzählbar sein?
Wenn tatsächlich $(0,1) [mm] \subseteq \cup_{i \in \mathbb{N}}M_i$ [/mm] gelten würde, würde diese Argumentation stimmen.
Aber alle [mm] $M_i$ [/mm] enthalten nur rationale Zahlen (sogar nur solche, die sich mit abbrechender Dezimaldarstellung darstellen lassen).
Da das Intervall $(0,1)$ auch irrationale Zahlen (und rationale Zahlen mit nicht abbrechender Dezimaldarstellung) enthält, gilt NICHT $(0,1) [mm] \subseteq \cup_{i \in \mathbb{N}}M_i$.
[/mm]
(Die Menge der rationalen Zahlen ist übrigens abzählbar.)
Viele Grüße
Tobias
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Deine Argumentation hört sich logisch an, und so lange du nur endliche Dezimalzahlen benutzt, stimmt sie auch.
Viel einfacher könntest du sogar so vorgehen: Du schreibst der Reihe nach die natürlichen Zahlen auf und setzt dann davor immer eine "0,".
Damit bekommst du genau die Zahlenmenge, die du aufgeschrieben hast.
Das sind aber nicht alle Zahlen, die es gibt. Z.B. [mm] \wurzel{2} [/mm] wird nie dabei sein, denn du kannst mir nicht sagen, an welcher Stelle ich diese Zahl finden kann (oder auch nur: wann spätestens). Denn egal, wie weit du die Zahlen schon aufgeschrieben hast, [mm] \wurzel{2} [/mm] wird noch nicht dabei (gewesen) sein. Noch nicht mal die Zahl [mm] \bruch{1}{3}, [/mm] weil ja immer noch mal eine 3 kommt...
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