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| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass jede Teilmenge einer abzählbaren Menge h¨ochstens abzählbar ist.
b) Zeigen Sie, dass die Menge aller endlichen Teilmengen von N abzählbar ist, die Menge
P(N) aller Teilmengen von N jedoch nicht.
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Ich weiß nicht weiter.........
Kann mir jemand vielleicht nen tipp geben, wie ich ansetzen könnte...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> a) Zeigen Sie, dass jede Teilmenge einer abzählbaren Menge
> h¨ochstens abzählbar ist.
> b) Zeigen Sie, dass die Menge aller endlichen Teilmengen
> von N abzählbar ist, die Menge
> P(N) aller Teilmengen von N jedoch nicht.
>
> Ich weiß nicht weiter.........
> Kann mir jemand vielleicht nen tipp geben, wie ich ansetzen
> könnte...
Also zuerst einmal beäugst Du die in der Vorlesung gegebene Definition von "abzählbare Menge" mit der nötigen Aufmerksamkeit und dann überlegst Du Dir, was Du damit anfangen kannst. Verschiedene Professoren definieren abzählbare Menge leider auf verschiedene (aber äquivalente) Weisen. Eine Möglichkeit ist, dass die in Deiner Vorlesung gegebene Definition etwa folgende war: "$A$ heisst (höchstens) abzählbar, wenn $A$ leer ist oder eine surjektive Abbildung von [mm] $\IN$ [/mm] auf $A$ existiert".
Nehmen wir einmal an, diese Definition stimme mit der in Deiner Vorlesung gegebenen tatsächlich überein.
Tipp zu Teilaufgabe a): Sei also [mm] $B\subseteq [/mm] A$ und $A$ abzählbar. Ist $B$ die leere Menge, so ist $B$ gemäss Definition abzählbar. Ist $B$ aber nicht leer, so musst Du versuchen, aus der gemäss Definition dann existierenden surjektiven Abbildung [mm] $\varphi_A\!:\, \IN\rightarrow [/mm] A$ eine ebenso surjektive Abbildung [mm] $\varphi_B\!:\, \IN\rightarrow [/mm] B$ zu basteln. Wenn Dir dies gelingt, hast Du die Abzählbarkeit der beliebig gewählten Teimenge $B$ von $A$ bewiesen.
Tipp zu Teilaufgabe b): Sei $A$ die Menge aller endlichen Teilmengen von [mm] $\IN$. [/mm] Kein Problem scheint es, eine injektive Abbildung [mm] $\psi_A\!:\, A\rightarrow \IN$ [/mm] zu definieren (so könnte man etwa jeder endlichen Teilmenge von [mm] $\IN$, [/mm] also jedem Element von $A$, genau eine natürliche Zahl als Bild unter [mm] $\psi_A$ [/mm] zuordnen, indem man eine solche endliche Teilmenge als binäre Darstellung einer natürlichen Zahl kodiert). Nun musst Du noch überlegen, wie man aus der injektiven Abbildung [mm] $\psi_A\!:\, A\rightarrow \IN$ [/mm] eine surjektive Abbildung [mm] $\varphi_A\!:\, \IN\rightarrow [/mm] A$ erhält...
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Was bedeutet immer dieses "basteln", das habe ich schon öfters im forum gelesen.....
soll ich hier irgendwelche konkreten Abbildungen erstellen oder wie??
ich verstehe den Trick an der sache nicht....?
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> Was bedeutet immer dieses "basteln", das habe ich schon
> öfters im forum gelesen.....
> soll ich hier irgendwelche konkreten Abbildungen erstellen
> oder wie??
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> ich verstehe den Trick an der sache nicht....?
Gemeint ist, dass Du die nach Voraussetzung existierende surjektive Abbildung [mm] $\varphi_A:\IN\rightarrow [/mm] A$ dazu verwendest, eine ebenfalls surjektive Abbildung [mm] $\varphi_B:\IN\rightarrow [/mm] B$ zu definieren. Etwa so:
[mm]\varphi_B(x) := \begin{cases}\varphi_A(x) &\text{falls } \varphi_A(x)\in B\\ b_0 &\text{falls } \varphi_A(x)\notin B\end{cases}[/mm]
Wobei [mm] $b_0$ [/mm] ein beliebiges, fest gewähltes Element der (nach Voraussetzung nicht-leeren) Menge $B$ ist.
Prüfe, dass folgendes gilt: diese Abbildung [mm] $\varphi_B:\IN\rightarrow [/mm] B$ bildet [mm] $\IN$ [/mm] surjektiv auf $B$ ab. Sie ist surjektiv, weil [mm] $\varphi_A$ [/mm] surjektiv ist (und daher, wegen [mm] $B\subseteq [/mm] A$, alle Elemente von $B$ schon aufgrund des ersten Falles der obigen Definition von [mm] $\varphi_B$ [/mm] durch Fallunterscheidung als Bilder auftreten müssen). Sie liefert aber auch nur Bilder in $B$, da wir eben [mm] $\varphi_A$ [/mm] geeignet (bastelnd) geändert haben: falls [mm] $\varphi_A(x)$ [/mm] ein Element von [mm] $A\backslash [/mm] B$ liefern sollte, liefert [mm] $\varphi_B$, [/mm] anstelle dieses für [mm] $\varphi_B$ [/mm] unzulässigen Wertes [mm] $\varphi_A(x)$, [/mm] an der Stelle $x$ einfach das besagte fest gewählte spezielle Element [mm] $b_0$ [/mm] von $B$ als Wert.
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