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| Aufgabe | Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins.
Zeige, dass die Menge I = { a [mm] \in [/mm] R | [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN: a^{n} [/mm] = 0} ein Ideal in R ist. |
Hi Matheraum,
Um nachzuweisen, dass I ein Ideal in R ist, muss man ja folgendes zeigen:
i) 0 [mm] \in [/mm] I
ii) a+b [mm] \in [/mm] I , a,b [mm] \in [/mm] I
iii) a*x [mm] \in [/mm] I , a [mm] \in [/mm] I, x [mm] \in [/mm] R
i) und iii) habe ich hinbekommen, aber bei ii) komme ich nicht weiter:
Seien a,b [mm] \in [/mm] I
[mm] (a+b)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\pmat{ n \\ k } \cdot a^{k}b^{n-k}
[/mm]
Wie komme ich hier weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mi 09.02.2011 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin!
> Es sei R ein kommutativer Ring mit Eins.
> Zeige, dass die Menge I = { a [mm]\in[/mm] R | [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \IN: a^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> = 0} ein Ideal in R ist.
> Hi Matheraum,
>
> Um nachzuweisen, dass I ein Ideal in R ist, muss man ja
> folgendes zeigen:
> i) 0 [mm]\in[/mm] I
> ii) a+b [mm]\in[/mm] I , a,b [mm]\in[/mm] I
> iii) a*x [mm]\in[/mm] I , a [mm]\in[/mm] I, x [mm]\in[/mm] R
>
> i) und iii) habe ich hinbekommen, aber bei ii) komme ich
> nicht weiter:
> Seien a,b [mm]\in[/mm] I
> [mm](a+b)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n}\pmat{ n \\ k } \cdot a^{k}b^{n-k}[/mm]
>
> Wie komme ich hier weiter?
Nimm doch mal an, dass [mm] $a^4 [/mm] = 0$ und [mm] $b^6 [/mm] = 0$ ist. Wie gross musst du $n$ waehlen, damit jeder Summand in $(a + [mm] b)^n$ [/mm] gleich 0 ist?
LG Felix
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> Nimm doch mal an, dass [mm]a^4 = 0[/mm] und [mm]b^6 = 0[/mm] ist. Wie gross
> musst du [mm]n[/mm] waehlen, damit jeder Summand in [mm](a + b)^n[/mm] gleich
> 0 ist?
>
> LG Felix
>
Hallo Felix,
Wenn ich nun $n=12$ wähle (da 12 das kgV von 4 und 6 ist), hätte ich:
[mm] $(a+b)^{n}=a^{12} [/mm] + [mm] a^{11} \cdot [/mm] b + [mm] a^{10} \cdot b^2 [/mm] + ... + a [mm] \cdot b^{11} [/mm] + [mm] b^{12}$ [/mm] (mit den jeweiligen Koeffizienten vor den Summanden, die insb. nicht-Null sind).
So, jetzt weiß doch "nur", dass die Summanden die [mm] a^{i} [/mm] und [mm] b^{j}, [/mm] i [mm] \in [/mm] {4,8,12}, j [mm] \in [/mm] {6,12} enthalten gleich 0 sind.
Aber die anderen (zB [mm] $a^{11} \dcot [/mm] b $) sind doch i.A. ungleich Null, oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Di 08.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Morgen,
> Wenn ich nun [mm]n=12[/mm] wähle (da 12 das kgV von 4 und 6 ist),
> hätte ich:
> [mm](a+b)^{n}=a^{12} + a^{11} \cdot b + a^{10} \cdot b^2 + ... + a \cdot b^{11} + b^{12}[/mm]
> (mit den jeweiligen Koeffizienten vor den Summanden, die
> insb. nicht-Null sind).
> So, jetzt weiß doch "nur", dass die Summanden die [mm]a^{i}[/mm]
> und [mm]b^{j},[/mm] i [mm]\in[/mm] {4,8,12}, j [mm]\in[/mm] {6,12} enthalten gleich 0
> sind.
> Aber die anderen (zB [mm]a^{11} \dcot b [/mm]) sind doch i.A.
> ungleich Null, oder nicht?
Nein, [mm] $a^{11} [/mm] b = [mm] a^4 \cdot a^7 [/mm] b = 0 [mm] \cdot a^7 [/mm] b = 0$, d.h. alle Potenzen [mm] $a^n$ [/mm] mit $n > 4 [mm] \:$ [/mm] sind 0, sowie alle Potenzen [mm] $b^n, [/mm] n > 6$ sind 0. Von daher kannst du in dem Beispiel dein [mm] $n\:$ [/mm] auch noch kleiner wählen.
LG Lippel
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> Nein, [mm]a^{11} b = a^4 \cdot a^7 b = 0 \cdot a^7 b = 0[/mm], d.h.
> alle Potenzen [mm]a^n[/mm] mit [mm]n > 4 \:[/mm] sind 0, sowie alle Potenzen
> [mm]b^n, n > 6[/mm] sind 0.
Na das ist ja mal clever 
> Von daher kannst du in dem Beispiel dein
> [mm]n\:[/mm] auch noch kleiner wählen.
Stimmt, mit n=6 werden auch alle Summanden 0.
Danke Lippel
>
> LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:12 Di 08.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> > Von daher kannst du in dem Beispiel dein
> > [mm]n\:[/mm] auch noch kleiner wählen.
> Stimmt, mit n=6 werden auch alle Summanden 0.
Vorsicht, n=6 reicht nicht, du bekommst Summanden mit [mm] $a^3b^3, a^2b^4$ [/mm] und [mm] $ab^5$ [/mm] die im allgemeinen nicht 0 sind. Also, die gesuchte Zahl liegt zwischen 6 und 12.
LG Lippel
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