Additionstheorem arctan < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:32 Di 25.11.2008 | | Autor: | TRT |
Hallo,
In der Vorlesung bei komplexen Zahlen verstehe ich einen Rechenschritt nicht. Stehe wohl ziemlich auf dem Schlauch:
1/3 * arctan(11/2) = arctan(1/2) (also ohne Taschenrechner)
Ich hoffe das ist so lesbar, als Begründung steht leider nur da das sich aus dem Additionstheorem tan(x+y) -> arctan(x) + arctan(y) ergibt.
habe schon überall gesucht und nirgendwo eine Erklärung gefunden.
Danke
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 Di 25.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> In der Vorlesung bei komplexen Zahlen verstehe ich einen
> Rechenschritt nicht. Stehe wohl ziemlich auf dem Schlauch:
> 1/3 * arctan(11/2) = arctan(1/2) (also ohne
> Taschenrechner)
>
> Ich hoffe das ist so lesbar, als Begründung steht leider
> nur da das sich aus dem Additionstheorem tan(x+y) ->
> arctan(x) + arctan(y) ergibt.
>
> habe schon überall gesucht und nirgendwo eine Erklärung
> gefunden.
ich benutze die Formel [mm] $\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan((x+y)/(1-xy))$ [/mm] (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier) (beachte, dass die von Buri angesprochenen Voraussetzungen erfüllt sind).
Damit gilt jedenfalls (zweimalige Anwendung der Formel)
[mm] $$3*\arctan(1/2)&=\arctan(1/2)+\arctan(1/2)+\arctan(1/2)=\arctan(1/(1-1/4))+\arctan(1/2)$$
[/mm]
[mm] $$=\arctan(4/3)+\arctan(1/2)=\arctan\left(\frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{4}{6}}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{11}{6}}{\frac{2}{6}}\right)=\arctan(11/2)$$
[/mm]
was äquivalent zur Behauptung ist.
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:30 Di 25.11.2008 | | Autor: | TRT |
Das heißt die einzige Möglichkeit wenn die 1/2 im ersten Schritt noch nicht bekannt sind (bei einer Aufgabe sind es statt 11/2 z.B. pi/2) wäre die Rechnung tan( atan(11/2) /3) (und da wüsste ich nicht wie das im Kopf gehen soll) ?
Oder ließe sich auch 1/3 * atan(pi/2) = atan(x) auf eine elegante Art lösen?
Wahrscheinlich übersehe ich immer noch irgendwas. :/
(Der Sinn ist übrigens das sich der Bruch dann relativ leicht als x und y einer komplexen Zahl auffassen lässt)
Ich entschuldige mich schon mal für die nicht formatierten Ausdrücke, sobald ich ein bisschen mehr Zeit habe werde ich mich mit der notwendigen Syntax beschäftigen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 03.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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