Additionstheoreme < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Habe diese Frage nirgendswo anders gestellt:
Also es geht um eine Aufgabe in meinem Buch.
Die Anwendung der Additionstheoreme auf Dreiecke.
Die 1.Art und 2.Art haben schon besprochen so dass ich die Formeln und Andwendung kenne.
Also:
Aufgabenstellung:
Zeige, dass in jedem Dreieck die Gleichung gilt!
a) Sin [mm] \alpha [/mm] + sin [mm] \beta [/mm] + sin [mm] \gamma [/mm] = 4 cos [mm] \bruch{ \alpha}{2} [/mm] cos [mm] \bruch{ \beta}{2} [/mm] cos [mm] \bruch{ \gamma}{2}
[/mm]
Anleitung: Drücke sin [mm] \gamma [/mm] mit Hilfe der beiden anderen Winkelmaße aus und wende auf dieses Teilergebnis ein Additionstheorem 1.Art an! Klammere geignet aus, beachte die Additionstheoreme 2.Art!
Ansatz:
1.Habe jetzt aus sin [mm] \gamma [/mm] => sin 180° - ( [mm] \alpha [/mm] - [mm] \beta) [/mm] gemacht.
2. Habe das Additionstheorem angewendet:
sin alpha + sin [mm] \beta [/mm] + sin 180° x cos ( [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] )- cos 180° x sin ( [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] )
So weiter weiß ich leider auch nicht. In meiner Klasse weiß das leider auch niemand.
Hoffe um Hilfe. Danke im Vorraus.
mfg N.i.g.h.t.w.a.l.k.e.r.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 So 10.04.2005 | | Autor: | Fugre |
> Habe diese Frage nirgendswo anders gestellt:
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> Also es geht um eine Aufgabe in meinem Buch.
>
> Die Anwendung der Additionstheoreme auf Dreiecke.
> Die 1.Art und 2.Art haben schon besprochen so dass ich die
> Formeln und Andwendung kenne.
>
> Also:
> Aufgabenstellung:
>
> Zeige, dass in jedem Dreieck die Gleichung gilt!
> a) Sin $ [mm] \alpha [/mm] $ + sin $ [mm] \beta [/mm] $ + sin $ [mm] \gamma [/mm] $ = 4 cos $ [mm] \bruch{ \alpha}{2} [/mm] $
> cos $ [mm] \bruch{ \beta}{2} [/mm] $ cos $ [mm] \bruch{ \gamma}{2} [/mm] $
>
> Anleitung: Drücke sin $ [mm] \gamma [/mm] $ mit Hilfe der beiden anderen
> Winkelmaße aus und wende auf dieses Teilergebnis ein
> Additionstheorem 1.Art an! Klammere geignet aus, beachte
> die Additionstheoreme 2.Art!
>
> Ansatz:
>
> 1.Habe jetzt aus sin $ [mm] \gamma [/mm] $ => sin 180° - ( $ [mm] \alpha [/mm] $ -
> $ [mm] \beta) [/mm] $ gemacht.
Wo kommt der Sinus her?
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> 2. Habe das Additionstheorem angewendet:
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> sin alpha + sin $ [mm] \beta [/mm] $ + sin 180° x cos ( $ [mm] \alpha [/mm] $ + $ [mm] \beta [/mm] $
> )- cos 180° x sin ( $ [mm] \alpha [/mm] $ + $ [mm] \beta [/mm] $ )
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> So weiter weiß ich leider auch nicht. In meiner Klasse weiß
> das leider auch niemand.
>
> Hoffe um Hilfe. Danke im Vorraus.
>
> mfg N.i.g.h.t.w.a.l.k.e.r.
Hallo Nightwalker,
also wenden wir uns mal deiner Aufgabe zu.
Deine Gleichung lautet:
$ [mm] \sin \alpha [/mm] + [mm] \sin \beta [/mm] + [mm] \sin \gamma [/mm] = 4 [mm] \cos \bruch{\alpha}{2} \cos \bruch{\beta}{2} \cos \bruch{\gamma}{2} [/mm] $
Nun stellen wir $ [mm] \gamma [/mm] $ mit Hilfe von $ [mm] \alpha [/mm] $ und $ [mm] \beta [/mm] $ dar.
$ [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma=180° \rightarrow \gamma=180°-\alpha-\beta [/mm] $
In die Gleichung eingesetzt:
$ [mm] \sin \alpha [/mm] + [mm] \sin \beta [/mm] + [mm] \sin (180°-\alpha-\beta) [/mm] = 4 [mm] \cos \bruch{\alpha}{2} \cos \bruch{\beta}{2} \cos \bruch{180°-\alpha-\beta}{2} [/mm] $
Bei diesen beiden Audrücken $ [mm] \sin (180°-\alpha-\beta) [/mm] $ und $ [mm] \cos \bruch{180°-\alpha-\beta}{2}=\cos [/mm] (90°- [mm] \bruch{\alpha+\beta}{2}) [/mm] $ können wir je eine Verschiebung beobachten. Im ersten Fall um 180°, d.h. das Vorzeichen können wir drehen. $ [mm] \sin [/mm] (180°-x)=-sinx $
In unserem Fall $ [mm] \sin (180°-\alpha-\beta)=-\sin(-\alpha-\beta) [/mm] $ und es gibt noch die Symmetrie, die wir uns hier zu Nutze machen können.
$ [mm] \sin(-x)=-\sinx [/mm] $, also bei uns $ [mm] -\sin(-\alpha-\beta)=-\sin(-(\alpha+\beta))=\sin(\alpha+\beta) [/mm] $
Nun wenden wir uns der zweiten Formel $ [mm] \cos [/mm] (90°- [mm] \bruch{\alpha+\beta}{2}) [/mm] $ zu und erinnern $ [mm] \sinx=\cos(90°-x) [/mm] $.
Also können wir schreiben: $ [mm] \cos [/mm] (90°- [mm] \bruch{\alpha+\beta}{2})=\sin\bruch{\alpha+\beta}{2} [/mm] $
Fassen wir diese neuen Erkenntnisse mal in unsere Gleichung ein:
$ [mm] \sin \alpha [/mm] + [mm] \sin \beta [/mm] + [mm] \sin(\alpha+\beta) [/mm] = 4 [mm] \cos \bruch{\alpha}{2} \cos \bruch{\beta}{2} \sin \bruch{\alpha+\beta}{2} [/mm] $
Gut, formen wir die Ausdrücke noch weiter um: Es gilt$ [mm] \sin [/mm] ( x + y ) = [mm] \sin [/mm] x [mm] \cos [/mm] y + [mm] \sin [/mm] y [mm] \cos [/mm] x $ bedeutet bei uns:
$ [mm] \sin (\bruch{\alpha+\beta}{2}) [/mm] = [mm] \sin (\bruch{\alpha}{2}) \cos (\bruch{\beta}{2})+ \sin (\bruch{\beta}{2} \cos\bruch{\alpha}{2}) [/mm] $
Mit solchen Umformungen musst du nun weitermachen, als große Hilfe könnte dir diese []Seite dienen.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
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Ich verstehe den Mittelteil nicht:
Bei diesen beiden Audrücken [mm]\sin (180°-\alpha-\beta)[/mm] und
> [mm]\cos \bruch{180°-\alpha-\beta}{2}=\cos (90°- \bruch{\alpha+\beta}{2})[/mm]
> können wir je eine Verschiebung beobachten. Im ersten Fall
> um 180°, d.h. das Vorzeichen können wir drehen. [mm]\sin (180°-x)=-sinx[/mm]
Also warum mann dies verschieben kann? so dass die 180° verschwindet?
mfg
Nightwalker12345
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 So 10.04.2005 | | Autor: | Kauli |
Die einfachste Antwort ist: es ist so, weil es so ist. ;) Ich hab dir mal die Sinusfunktion unter http://www.kauli.net/sinus.gif "aufgemalt"
Wenn du dir die Sinusfunktion anschaust, wirst du sehen, das sie sich alle 360 Grad wiederholt (ein Kästchen sind 90 Grad). Alle 180 Grad schneidet die Sinusfunktion die X-Achse. Und du kannst auch sehen, das die Aussage sin(180-x)=-sin(x) stimmt. Probier es einfach mal mit nem Taschenrechner aus.
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