Additivitaet des Integrals < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | Beweisen Sie die Linearitat des Intergrals:
(i) Jede integrierbare Funktion f : X [mm] \to \overline{R} [/mm] (mit unendlich) ist fast überall reellwertig.
(ii) c*f ist integrierbar und [mm] \integral{c*f} [/mm] = [mm] c\integral{f}
[/mm]
(iii) f + g ist integrierbar (falls f + g defi niert ist) und
[mm] \integral{(f + g)} [/mm] = [mm] \integral{f} [/mm] + [mm] \integral{g} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also wir haben in der Vorlesung alle Eigenschaften für den nichtnegativen Fall bewiesen. Sodass ich zu
(ii) c*f integrierbar [mm] \Rightarrow \integral{c*f} [/mm] = [mm] \integral{c*f^+} [/mm] - [mm] \integral{c*f^-},
[/mm]
da [mm] f^{+} [/mm] := [mm] max\{f,0\} [/mm] und [mm] f^{-} [/mm] := [mm] -max\{-f,0\} [/mm] und beide Integrale somit nicht negativ sind, gilt laut Vorl.
= [mm] c*\integral{f^+} [/mm] - [mm] c*\integral{f^-} [/mm] = [mm] c*(\integral{f^+} [/mm] - [mm] \integral{f^-}) [/mm] = [mm] c*\integral{f}
[/mm]
in (III) dann genauso:
[mm] \integral{f} [/mm] + [mm] \integral{g} [/mm] = [mm] \integral{f^+} [/mm] - [mm] \integral{f^-} [/mm] + [mm] \integral{g^+} [/mm] - [mm] \integral{g^-}
[/mm]
da [mm] f^{+} [/mm] := [mm] max\{f,0\} [/mm] und [mm] f^{-} [/mm] := [mm] -max\{-f,0\} [/mm] und beide Integrale somit nicht negativ sind, gilt laut Vorl.
[mm] (\integral{f^+}+ \integral{g^+}) [/mm] - [mm] (\integral{f^-} [/mm] - [mm] \integral{g^-}) [/mm] = [mm] \integral{(f+g)^+} [/mm] - [mm] \integral{(f+g)^-} [/mm] = [mm] \integral{f+g}
[/mm]
Ist das so richtig? Zu (I) habe ich noch keine Idee... Kann mir da jemand helfen?
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Hallo Ana-Lena,
vorweg: Gewöhn dir bitte an, Dinge sauber aufzuschreiben.
So wie du deine Integrale schreibst, ist nichts klar.
Sprichst du von Riemann-Integralen, Lebesgue-Integralen, unbestimmte Integrale?
Also eine umfassende Angabe, worum es geht, wäre sicherlich sinnvoll.....
Für einen Neuling war das jetzt sicherlich nen doofer Einstieg, daher nun erstmal: Willkommen 
Lobend zu ewähnen: Bis auf das oben genannte, ist deine Frage so, wie man sich hier eine Frage wünscht, mit eigenen Ansätzen etc 
Und nun zu deiner Aufgabe:
> (ii) c*f integrierbar [mm]\Rightarrow \integral{c*f}[/mm] =
> [mm]\integral{c*f^+}[/mm] - [mm]\integral{c*f^-},[/mm]
>
> da [mm]f^{+}[/mm] := [mm]max\{f,0\}[/mm] und [mm]f^{-}[/mm] := [mm]-max\{-f,0\}[/mm] und beide
> Integrale somit nicht negativ sind, gilt laut Vorl.
Ein kleinen Fehler zu beginn: Es gilt [mm]f^{-} := max\{-f,0\}[/mm], bei dir ist also ein Minus zuviel.
Desweiteren hast du einfach angenommen, dass $(c*f)^+ = c*f^+$ bzw $(c*f)^- = c*f^-$ ist. Das stimmt aber nur für $c [mm] \ge [/mm] 0$.
Den Fall $c < 0$ solltest du also auch noch betrachten. Korrekt wäre also erstmal die Gleichung: $ [mm] \integral{c*f} [/mm] = [mm] \integral{(c*f)^+} [/mm] - [mm] \integral{(c*f)^-}$
[/mm]
Und dann gehts weiter.
Ebenso klingt die Aufgabe so, als müsstest du erstmal Begründen, warum $c*f$ überhaupt integrierbar ist, so ganz ohne Vorbemerkung nutzen deine also Umformungen auch nichts
> in (III) dann genauso:
Genau, da hast du die Begründung dann auch vergessen
Aber deine Idee ist schon korrekt.
> Zu (I) habe ich noch keine Idee... Kann mir da jemand helfen?
Nimm mal an, f wäre NICHT fast überall reellwertig (d.h. es gäbe eine Nicht-Nullmenge, wo |f| unendlich ist), dann würde gelten:
[mm] $\integral_X\,|f|\,d\mu \ge \integral_{\{|f| = \infty\}}\,|f|\,d\mu [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hi Gono,
danke für deine Anmerkung. Es geht selbstverständlich wohl um Lebesque-Integrale.
Zu (iii): f und g sind int'bar. Wo fehlen da weitere Begründungen?
Zu (ii): du hast vollkommen recht. Also die Begründung, dass c*f int'bar ist fehlt, aber die hast du wohl schon zum Teil genannt. [mm] \integral{c*f} [/mm] = [mm] \integral{(cf)^+} [/mm] - [mm] \integral{(cf)^-} [/mm] und diese Funktion sind beide größer gleich Null und damit laut Vorlesung int'bar (Beweis mit Treppenfkt), wenn f natürlich int'bar ist.
Für c >= 0 gilt ja meine Umformung. c < 0 fehlt, da hast du Recht. Setze a := -c. Dann ist [mm] (-af)^{+} [/mm] = [mm] max\{-af,0\} [/mm] = [mm] (af)^{-}. [/mm] Analog für [mm] (-af)^{-} [/mm] = max [mm] \{--af,0\} [/mm] = [mm] (af)^{+}.
[/mm]
[mm] f^{-} [/mm] := max [mm] \{ -f,0\} [/mm] ist natürlich richtig. Nun habe ich wieder positive Integrale und kann das "c" rausziehen. :)
Reicht das soweit?
LG
Ana-Lena
PS: Abkürzugen, da ich mit dem Handy gerade online bin.
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Hiho,
> Zu (iii): f und g sind int'bar. Wo fehlen da weitere
> Begründungen?
Wieso sollte dann (f+g) integrierbar sein? Das hast du mit keiner Silbe begründet.
Ausserdem hast du falsch umgeformt, es gilt nämlich eben gerade NICHT $(f+g)^+ = f^+ + g^+$
Versuche da mal einen anderen Ansatz zu finden.
> Reicht das soweit?
Deine Umformungen zu (ii) sind soweit korrekt. Wie siehts mit der (i) aus?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:01 So 12.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hallo Golo,
Okay, int'bar heißt ja, dass [mm] \integral{|f|} [/mm] < [mm] \infty.
[/mm]
Damit ist für ii) [mm] \integral{|cf|} [/mm] < [mm] \infty, [/mm] da c [mm] \in \IR [/mm] und |f|< [mm] \infty
[/mm]
Für iii) da f,g intbar gilt ja [mm] \integral{|f|} [/mm] < [mm] \infty [/mm] und [mm] \integral{|g|} [/mm] < [mm] \infty.
[/mm]
Damit folgt
[mm] \integral{|f+g|} \le \integral{|f|+|g|} [/mm]
und laut pos. Additivität:
= [mm] \integral{|f|}+\integral{|g|} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Damit ist (f+g) int'bar. Perfekt. Warum benutze ich ein Forum erst jetzt? Endlich macht das mal wieder Spaß.
So [mm] \integral{f}+\integral{g} [/mm] = [mm] \integral{f^{+}}-\integral{f^{-}}+\integral{g^{+}}-\integral{g^{-}} [/mm]
(und laut (ii) mit c:= -1)
[mm] \integral{f^{+}-f^{-}+g^{+}-g^{-}}=\integral{f+g}.
[/mm]
Zu i) Da habe ich irgendwie keine Idee. Nullmengen sind ja Mengen mit Maß Null?
Also irgendwas mit der Indikatorfunktion kann man dort anwenden. Naja, und N = [mm] \{ x: |f(x)| = \pm \infty \} [/mm] ist laut Tutorium die Nullmenge. Irgendwie hab ich das noch nicht verstanden. Vllt liegt es auch an der Uhrzeit :)
Vielen Dank Golo,
LG,
Ana-Lena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 So 12.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Golo,
>
> Okay, int'bar heißt ja, dass [mm]\integral{|f|}[/mm] < [mm]\infty.[/mm]
>
> Damit ist für ii) [mm]\integral{|cf|}[/mm] < [mm]\infty,[/mm] da c [mm]\in \IR[/mm]
> und |f|< [mm]\infty[/mm]
>
> Für iii) da f,g intbar gilt ja [mm]\integral{|f|}[/mm] < [mm]\infty[/mm] und
> [mm]\integral{|g|}[/mm] < [mm]\infty.[/mm]
> Damit folgt
>
> [mm]\integral{|f+g|} \le \integral{|f|+|g|}[/mm]
>
> und laut pos. Additivität:
>
> = [mm]\integral{|f|}+\integral{|g|}[/mm] < [mm]\infty[/mm]
>
> Damit ist (f+g) int'bar. Perfekt. Warum benutze ich ein
> Forum erst jetzt? Endlich macht das mal wieder Spaß.
>
> So [mm]\integral{f}+\integral{g}[/mm] =
> [mm]\integral{f^{+}}-\integral{f^{-}}+\integral{g^{+}}-\integral{g^{-}}[/mm]
>
> (und laut (ii) mit c:= -1)
>
> [mm]\integral{f^{+}-f^{-}+g^{+}-g^{-}}=\integral{f+g}.[/mm]
>
> Zu i) Da habe ich irgendwie keine Idee. Nullmengen sind ja
> Mengen mit Maß Null?
setze mal [mm] $N_1:=N_\infty:=\{\omega: f(\omega) = \infty\}$ [/mm] und [mm] $N_2:=N_{-\infty}:=\{\omega: f(\omega)=-\infty\}\,.$ [/mm] Die Mengen [mm] $N_1\,,$ $N_2$ [/mm] und [mm] $\Omega \setminus (N_1 \cup N_2)$ [/mm] (ich gehe einfach erstmal davon aus, dass ihr allgemein $f: [mm] \Omega \to \IR$ [/mm] betrachtet, wobei die Sigma-Algebra und das endliche Maß klar ist etc. pp.) bilden eine Partition von [mm] $\Omega\,.$
[/mm]
Dann kann man [mm] $f=f*1_{\Omega \setminus (N_1 \cup N_2)}+f*1_{N_1}+f*1_{N_2}$ [/mm] schreiben - wobei [mm] $1_M$ [/mm] die charakteristische Funktion bzgl. $M [mm] \subseteq \Omega\,$ [/mm] ist, also [mm] $1_M(x)=1$ [/mm] für $x [mm] \in M\,,$ [/mm] und [mm] $1_M(x)=0$ [/mm] für $x [mm] \in \Omega \setminus M\,.$ [/mm] (Aber das hilft einem so vielleicht erstmal nix, weil man ja noch gewisse Rechenregeln evtl. noch nicht benutzen darf! Vielleicht hilft's Dir auch - irgendwie hängt das vom Vorlesungsstand ab!)
Was jedenfalls klar ist (warum?):
[mm] $$\int [/mm] f^+ [mm] \ge \int_{N_1} f=\int (f*1_{N_1})\,.$$
[/mm]
Was wäre nun also mit [mm] $\int f^+\,,$ [/mm] wenn [mm] $N_1$ [/mm] keine Nullmenge wäre? Analog kannst Du Dir das für [mm] $\int [/mm] f^-$ überlegen, wenn [mm] $N_2$ [/mm] keine Nullmenge ist. Und natürlich: Wenn Du weißt, dass aus der Integrierbarkeit folgt, dass sowohl [mm] $N_1$ [/mm] als auch [mm] $N_2$ [/mm] Nullmengen sein müssen: Was ist dann mit [mm] $N_1 \cup N_2=\{\omega: |f(\omega)|=\infty\}\;$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 So 12.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hallo Marcel,
so langsam kommt der Durchblick. Also eine Nullmenge, ist eine Menge mit Maß/Integral = 0??
Also wäre N_+ := [mm] \{x|f(x) = \infty\} [/mm] keine Nullmenge, also
[mm] \infty [/mm] = [mm] \integral_{N_+}{f} [/mm] = [mm] \integral_{X}{f*1_{N_+}} \le \integral_{X}{f^{+}} [/mm] < [mm] \infty [/mm] ergibt also aufgrund der Int'barkeit ein Widerspruch
Analog wäre [mm] N_{-} [/mm] := [mm] \{x|f(x)=-\infty\} [/mm] keine Nullmenge, so folgt
[mm] -\infty [/mm] = [mm] \integral_{N_-}{f} [/mm] = [mm] \integral_{X}{f*1_{N_+}} \le -\integral_{X}{f^{-}}< -\infty [/mm]
und das wäre wieder ein Widerspruch.
Also [mm] \integral_{N}{f} [/mm] = [mm] \integral_{N_+}{f} [/mm] + [mm] \integral_{N_-}{f} [/mm] = 0.
Passt das so? Das mit dem Nullmengen habe ich noch nicht ganz verstanden. Aber die Indikatorfunktion "1" brauch ich ja um den Wertebereich auf X zu erweitern, oder?
Vielen Dank, euch beiden
LG
Ana-Lena
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Hiho,
> so langsam kommt der Durchblick. Also eine Nullmenge, ist
> eine Menge mit Maß/Integral = 0??
Ja. Wobei die Definition nur sagt, dass das Maß Null sein muß.
Dass das Integral dann Null ist, folgt daraus.
> Also wäre N_+ := [mm]\{x|f(x) = \infty\}[/mm] keine Nullmenge, also
>
> [mm]\infty[/mm] = [mm]\integral_{N_+}{f}[/mm] = [mm]\integral_{X}{f*1_{N_+}} \le \integral_{X}{f^{+}}[/mm]
> < [mm]\infty[/mm] ergibt also aufgrund der Int'barkeit ein
> Widerspruch
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Analog wäre [mm]N_{-}[/mm] := [mm]\{x|f(x)=-\infty\}[/mm] keine Nullmenge,
> so folgt
> [mm]-\infty[/mm] = [mm]\integral_{N_-}{f}[/mm] = [mm]\integral_{X}{f*1_{N_+}} \le -\integral_{X}{f^{-}}< -\infty[/mm]
> und das wäre wieder ein Widerspruch.
>
> Also [mm]\integral_{N}{f}[/mm] = [mm]\integral_{N_+}{f}[/mm] +
> [mm]\integral_{N_-}{f}[/mm] = 0.
Wobei du hier noch anmerken solltest, dass die Mengen disjunkt sind (offensichtlich), da du sonst das Integral nicht auseinander ziehen kannst.
> Passt das so? Das mit dem Nullmengen habe ich noch nicht
> ganz verstanden. Aber die Indikatorfunktion "1" brauch ich
> ja um den Wertebereich auf X zu erweitern, oder?
Ja und Nein. Das mit der Indikatorfunktion ist nur eine andere Schreibweise, bzw so ist das Integral über die Menge A definiert.
> Vielen Dank, euch beiden
Rechnung ist im Anhang.
MFG,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 So 12.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hallo Gono,
danke für deine Hilfe. Das macht echt Spaß mit so einem Forum.
Kannst dir ja
http://www.matheforum.net/read?t=867225
mal angucken.
LG,
Ana-Lena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 So 12.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Könnt ihr euch mal
http://www.matheforum.net/read?t=867225
angucken? Das ist meine letzte Aufgabe. :)
LG
Ana-Lena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
mal nebenbei ein Hinweis: Wann sagt ihr, dass [mm] $f\,$ [/mm] integrierbar ist? Sicher, wenn [mm] $f\,$ [/mm] (Borel-)messbar ist, und dann gewisse Eigenschaften für [mm] $\int [/mm] f^+$ und [mm] $\int [/mm] f^-$ gelten: Beide müssen endlich sein!
(Z.B. kann $f^+ [mm] \in [0,\infty]$ [/mm] sein, dann aber darf nur $f^- [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] sein und sowas... Man will ja sowas wie [mm] $\int f=\int [/mm] f^+ - [mm] \int [/mm] f^-$ benutzen, und sowas wie [mm] $\infty [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] bleibt dabei undefiniert.)
Und für integrierbare $f,g$ muss [mm] $f+g\,$ [/mm] nicht integrierbar sein. Betrachte mal [mm] $f=1_{[0,\infty)}*\infty$ [/mm] und $g(x):=f(-x)$ auf [mm] $\IR\,.$ [/mm] ........
Edit: Das Durchgestrichene hätte nur gezeigt, dass die Summe quasi-integrierbarer Funktionen i.a. nicht quasi-integrierbar ist! Die Summe integrierbarer Funktionen ist integrierbar!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:08 So 12.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Laut Definition ist f: X [mm] \to \overline{\IR} [/mm] int'bar, wenn f meßbar (wohl wahrscheinlich Borelmeßbar?!) [mm] \gdw \integral{f^{+}}<\infty [/mm] und [mm] \integral{f^{-}}<\infty [/mm] also [mm] \gdw \integral{|f|}<\infty.
[/mm]
Das war der Ansatz um zz dass cf oder f+g int'bar ist. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> da [mm]f^{+}[/mm] := [mm]max\{f,0\}[/mm] und [mm]f^{-}[/mm] := [mm]-max\{-f,0\}[/mm] und beide
wie Gono schon geschrieben hatte: [mm] $f^-=\max\{-f,0\}\,.$ [/mm] Es kann aber auch sein, dass ihr [mm] $f^-:=-\blue{\min}\{f,0\}$ [/mm] definiert hattet. Das ist das gleiche wie [mm] $\max\{-f,0\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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