Adjungierte Abbildung bestimme < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:12 Fr 22.07.2016 | | Autor: | Funtak |
| Aufgabe | Sei V die Menge {f ∈ ℝ[X] | grad f ≤ 2}. Diese wird durch das Skalarprodukt
⟨f, g⟩ := [mm] \summe_{i=-1}^{1} [/mm] f(i)g(i)
zu einem euklidischen Vektorraum. Selbiges gilt für ℝ mit dem Skalarprodukt ⟨r,s⟩ := rs.
a) Bestimmen Sie zu der Einbettung j: ℝ → V, r ↦ rX, die adjungierte Abbildung j* .
b) Sei Φ: V → ℝ die lineare Abbildung [mm] \summe_{i=0}^{2} [/mm] ai Xi ↦ [mm] \summe_{i=0}^{2} [/mm] ai . Berechnen Sie die adjungierte Abbildung Φ* . |
Habe als kleiner Ansatz für die a)
⟨f, j(s)⟩ = ⟨j*(f), s⟩
= ⟨f, aX2 + bX + c⟩ = ⟨rX, s⟩
aber eigentlich keinen blassen schimmer
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.mathelounge.de/367812/adjungierte-abbildung-bestimmen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:45 Fr 22.07.2016 | | Autor: | fred97 |
Du musst nur rechnen ! Für [mm] j^{\star} [/mm] schreib ich $k$, also
$j: [mm] \IR \to [/mm] V$ und $k:V [mm] \to \IR$.
[/mm]
Die Abbildung $k$ muss also leisten:
(*) $<j(r),f>=<r,k(f)>$ für alle $r [mm] \in \IR$ [/mm] und alle $f [mm] \in [/mm] V$
Die linke Seite in (*) lautet:
$ [mm] \summe_{i=-1}^{1} [/mm] (rX)(i)f(i)=-rf(-1)+rf(1)$
und die rechte Seite lautet:
$rk(f)$.
Damit muss $k$ erfüllen:
$-rf(-1)+rf(1)=rk(f)$ für alle $r [mm] \in \IR$ [/mm] und alle $f [mm] \in [/mm] V$.
Wähle nun r=1. Dann sollte Dir ins Auge springen, wie $k$ def. ist.
FRED
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