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| Aufgabe | Gegeben ist eine affine Abbildung [mm] \alpha [/mm] mit genau einem Eigenwert [mm] \lambda
[/mm]
Fall 1: Alle Vektoren der Ebene sind Eigenvektoren.
Dann gibt es eine Basis [mm] {\vec{u1}, \vec{u2}} [/mm] aus Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm] Ein Punkt mit dem Ortvektor [mm] \vec{x}=r1\vec{u1}+r2\vec{u2} [/mm] wird abgebildert auf [mm] \vec{x'}= \lambda \vec{x}.
[/mm]
Es ligbt also eine zentroche Streckung vor von o aus um [mm] \lambda
[/mm]
Fall 2: Alle Eigenvektoren sind Vielfache eines Vektors [mm] \vec{u}\not=\vec{o}. [/mm] Die Gerade [mm] g:\vec{x}=t\vec{u} [/mm] ist damit Fixgerade von [mm] \alpha.
[/mm]
Ist [mm] \lambda [/mm] 1 liegt eine Achsenaffinität vor. Es muss sich um eine Scherung handeln, denn eine Parallelstreckung hat 2 Eigenwerte.
Ist [mm] \lambda \not= [/mm] 1, so betrachtet man die zentrische Streckung [mm] \sigma [/mm] mit Zentrum O und dem Streckfaktor [mm] \lambda.
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] lässt sich darstellen als [mm] \alpha [/mm] = [mm] \gamma [/mm] ° [mm] \sigma.
[/mm]
Ein Eigenvektor von [mm] \alpha [/mm] ist dann ein Eigenvektor von [mm] \gamma [/mm] zum Eigenwert 1. [mm] \gamma [/mm] ist also eine Achsenaffinität.
Ein Eigenvektor von [mm] \gamma [/mm] ist auch ein Eigenvektor von [mm] \alpha. [/mm] Also hat [mm] \gamma [/mm] nur den Eigenwert 1 und die Eigenvektoren von [mm] \gamma [/mm] sind alle Vielfache von [mm] \vec{u}.
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] ist also eine Scherung mit der Geraden g als Scherungsachse. |
Fall 1:
Was genau bedeutet eine Basis [mm] {\vec{u1}, \vec{u2}} [/mm] aus Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] mathematisch?
Ist doch eigentlich nichts anderes, als das man die Basis mit [mm] \lambda [/mm] multipliziert, oder?
Wieso heisst es "Ein Punkt mit dem Ortvektor [mm] \vec{x}=r1\vec{u1}+r2\vec{u2} [/mm] " ist der ganze Term nun der Ortsvektor? Was ist mit dem Richtugnsvektor?
Wieso ist es den eine zentrische Streckung von O aus?
Fall 2:
Sind Eigenvektoren nicht immer ein vielfaches von [mm] \vec{u}
[/mm]
Warum haben wir eine Achsenaffinität, wenn [mm] \lambada [/mm] 1 ist?
Wieso betrachtet man wenn [mm] \lamba [/mm] nicht 1 ist einfach die zentrische Streckung?
Wenn man [mm] \alpha [/mm] so darstellt [mm] \alpha [/mm] = [mm] \gamma [/mm] ° [mm] \sigma, [/mm] wieso kommen die dann auf die Schlussfolgerungen, dass ein Eigenvektor von [mm] \alpha [/mm] dann ein Eigenvektor von [mm] \gamma [/mm] zum Eigenwert 1 ist und das alles was danach kommt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Mi 26.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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