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| Aufgabe | | Sei [mm] $\mathcal{E}=\{\vektor{x \\ y \\ z} \in \mathbb{R}^{3}:x+y+z=1\}$ [/mm] mit den Punkten [mm] $P_{0}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}$, $P_{1}=\vektor{1 \\ -1 \\ 1}$ [/mm] und [mm] $P_{2}=\vektor{1 \\ 1 \\ -1}$. [/mm] Gesucht ist eine affine Abbildung [mm] $\phi: \mathcal{E} \to \mathcal{E}$ [/mm] mit [mm] $\phi(P_{0})=P_{1}(=Q_{0)}$, $\phi(P_{1})=P_{2}(=Q_{1})$ [/mm] und [mm] $\phi(P_{2})=P_{2}(=Q_{2})$. [/mm] |
Guten Abend!
Ich möchte das Prinzip der affinen Fortsetzung nutzen und bestimme hierfür:
[mm] $v_{1}=\overrightarrow{P_{0}P_{1}}=\vektor{2 \\ -2 \\ 0}, v_{2}=\overrightarrow{P_{0}P_{2}}=\vektor{2 \\ 0 \\ -2}, w_{1}=\overrightarrow{Q_{0}Q_{1}}=\vektor{0 \\ 2 \\ -2},
[/mm]
[mm] w_{2}=\overrightarrow{Q_{0}Q_{2}}=\vektor{0 \\ 2 \\ -2}$.
[/mm]
Nun muss ich eine lineare Abbildung [mm] $\vartheta$ [/mm] bestimmen, sodass gilt [mm] $\phi(P_{0}+v_{i})=Q_{0}+$\vartheta(v_{i})$. [/mm] Genau hierbei habe ich Probleme. Ich muss doch quasi als Abbildungsvorschrift eine 3x3-Matrix bestimmen (da die Abbildung von [mm] $\mathbb{R}^{3}$ [/mm] in den [mm] $\mathbb{R}^{3}$ [/mm] abbildet) - dafür habe ich aber meiner Meinung nach zu wenige Gleichungen, um das System zu lösen und die Einträge genau zu bestimmen. Oder muss ich mir einfach noch weitere beliebige Punkte hinzunehmen? Wo steckt mein Denkfehler?
Beste Grüße
mathe_thommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Mo 23.10.2017 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]\mathcal{E}=\{\vektor{x \\ y \\ z} \in \mathbb{R}^{3}:x+y+z=1\}[/mm]
> mit den Punkten [mm]P_{0}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}[/mm],
> [mm]P_{1}=\vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm] und [mm]P_{2}=\vektor{1 \\ 1 \\ -1}[/mm].
> Gesucht ist eine affine Abbildung [mm]\phi: \mathcal{E} \to \mathcal{E}[/mm]
> mit [mm]\phi(P_{0})=P_{1}(=Q_{0)}[/mm], [mm]\phi(P_{1})=P_{2}(=Q_{1})[/mm]
> und [mm]\phi(P_{2})=P_{2}(=Q_{2})[/mm].
> Guten Abend!
>
> Ich möchte das Prinzip der affinen Fortsetzung nutzen und
> bestimme hierfür:
> [mm]$v_{1}=\overrightarrow{P_{0}P_{1}}=\vektor{2 \\ -2 \\ 0}, v_{2}=\overrightarrow{P_{0}P_{2}}=\vektor{2 \\ 0 \\ -2}, w_{1}=\overrightarrow{Q_{0}Q_{1}}=\vektor{0 \\ 2 \\ -2},[/mm]
>
> [mm]w_{2}=\overrightarrow{Q_{0}Q_{2}}=\vektor{0 \\ 2 \\ -2}$.[/mm]
>
> Nun muss ich eine lineare Abbildung [mm]$\vartheta$[/mm] bestimmen,
> sodass gilt [mm]$\phi(P_{0}+v_{i})=Q_{0}+$\vartheta(v_{i})$.[/mm]
> Genau hierbei habe ich Probleme. Ich muss doch quasi als
> Abbildungsvorschrift eine 3x3-Matrix bestimmen (da die
> Abbildung von [mm]$\mathbb{R}^{3}$[/mm] in den [mm]$\mathbb{R}^{3}$[/mm]
> abbildet) - dafür habe ich aber meiner Meinung nach zu
> wenige Gleichungen, um das System zu lösen und die
> Einträge genau zu bestimmen. Oder muss ich mir einfach
> noch weitere beliebige Punkte hinzunehmen? Wo steckt mein
> Denkfehler?
>
> Beste Grüße
> mathe_thommy
Hallo,
hast du eventuell einen Schreibfehler drin?
Werden tatsächlich P1 und P2 beide auf P2 abgebildet?
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Guten Abend abakus,
so steht es zumindest in der Aufgabenstellung. Eventuell ist dort ein Fehler unterlaufen? Meines Erachtens fehlt mir ein Punkt [mm] $P_{3}$ [/mm] oder?
Beste Grüße
mathe_thommy
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> Guten Abend abakus,
>
> so steht es zumindest in der Aufgabenstellung. Eventuell
> ist dort ein Fehler unterlaufen? Meines Erachtens fehlt mir
> ein Punkt [mm]P_{3}[/mm] oder?
Siehe meine Bemerkung:
es wird aus einer Ebene in diese Ebene abgebildet,
da reichen die Bilder dreier Punkte.
LG Angela
>
> Beste Grüße
> mathe_thommy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Di 24.10.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
P2 ist ein Fixpunkt, von da aus beschreibe die ebene durch die 2 Vektoren [mm] e_1=P2P1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] =P2P0
jeder Vektor der Ebene wird dann beschrieben als [mm] P2+x*e_1+y*e_2
[/mm]
diese Vektoren werden abgebildet auf [mm] P1+0*e_1+y*e_2
[/mm]
damit ist die Abbildung in E eindeutig beschrieben.
Gruß leduart
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> Hallo,
> hast du eventuell einen Schreibfehler drin?
> Werden tatsächlich P1 und P2 beide auf P2 abgebildet?
Hallo,
ich denke nicht, daß man von einem Fehler ausgehen muß:
affine Abbildungen sind doch nicht zwingend bijektiv.
Hier ist das Bild der Ebene [mm] \mathcal{E} [/mm] halt eine Gerade in [mm] \mathcal{E}.
[/mm]
LG Angela
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> Sei [mm]\mathcal{E}=\{\vektor{x \\ y \\ z} \in \mathbb{R}^{3}:x+y+z=1\}[/mm]
> mit den Punkten [mm]P_{0}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}[/mm],
> [mm]P_{1}=\vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm] und [mm]P_{2}=\vektor{1 \\ 1 \\ -1}[/mm].
> Gesucht ist eine affine Abbildung [mm]\phi: \mathcal{E} \to \mathcal{E}[/mm]
> mit [mm]\phi(P_{0})=P_{1}(=Q_{0)}[/mm], [mm]\phi(P_{1})=P_{2}(=Q_{1})[/mm]
> und [mm]\phi(P_{2})=P_{2}(=Q_{2})[/mm].
> Guten Abend!
>
> Ich möchte das Prinzip der affinen Fortsetzung nutzen und
> bestimme hierfür:
> [mm]$v_{1}=\overrightarrow{P_{0}P_{1}}=\vektor{2 \\ -2 \\ 0}, v_{2}=\overrightarrow{P_{0}P_{2}}=\vektor{2 \\ 0 \\ -2}, w_{1}=\overrightarrow{Q_{0}Q_{1}}=\vektor{0 \\ 2 \\ -2},[/mm]
>
> [mm]w_{2}=\overrightarrow{Q_{0}Q_{2}}=\vektor{0 \\ 2 \\ -2}$.[/mm]
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> Nun muss ich eine lineare Abbildung [mm]$\vartheta$[/mm] bestimmen,
> sodass gilt [mm]$\phi(P_{0}+v_{i})=Q_{0}+$\vartheta(v_{i})$.[/mm]
> Genau hierbei habe ich Probleme. Ich muss doch quasi als
> Abbildungsvorschrift eine 3x3-Matrix bestimmen (da die
> Abbildung von [mm]$\mathbb{R}^{3}$[/mm] in den [mm]$\mathbb{R}^{3}$[/mm]
> abbildet) - dafür habe ich aber meiner Meinung nach zu
> wenige Gleichungen, um das System zu lösen und die
> Einträge genau zu bestimmen. Oder muss ich mir einfach
> noch weitere beliebige Punkte hinzunehmen? Wo steckt mein
> Denkfehler?
Hallo,
ich bin in den affinen Abbildungen überhaupt nicht "drin", trotzdem mal meine Gedanken:
meiner Meinng nach steckt Dein Denkfehler darin, daß Du meinst, daß [mm] \Phi [/mm] aus dem [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^3 [/mm] abbildet.
Der Urbildraum von [mm] \Phi [/mm] ist jedoch die Ebene [mm] \mathcal{E}, [/mm] also lediglich eine Teilmenge (genauer: ein affiner Unterraum) des [mm] \IR^3.
[/mm]
Meine Abbildung sieht so aus:
[mm] \Phi:\mathcal{E}\to \mathcal{E}
[/mm]
mit
[mm] \Phi(P_0+\lambda\overrightarrow{P_0P_1}+\mu\overrightarrow{P_0P_2})=P_1+\lambda\overrightarrow{P_1P_2}+\mu\overrightarrow{P_1P_2}=P_1+(\lambda+\mu)\overrightarrow{P_1P_2}.
[/mm]
Wenn Du mit Matrizen arbeiten möchtest, also [mm] \Phi [/mm] darstellen willst als [mm] \Phi(\vec{x})=A\vec{x}+\vec{t},
[/mm]
dann ist doch A eine [mm] 2\times [/mm] 2 Matrix, weil wir aus einem Raum der Dimension 2 in einem Raum der Dimension 2 abbilden.
Wenn Du das tun willst, brauchst Du in [mm] \mathcal{E} [/mm] erstmal ein affines Koordinatensystem meinem Verständnis nach.
LG Angela
>
> Beste Grüße
> mathe_thommy
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