Affine Räume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Fr 14.09.2007 | | Autor: | holwo |
| Aufgabe | Sei W vektorraum, V [mm] \subset [/mm] W ein Untervektorraum sowie [mm] V+y=\{x+y|x\in V\} [/mm] für ein y [mm] \in [/mm] W
Zeigen Sie, dass V+y ein affiner Unterraum ist |
Hallo,
ich habe zwar verstanden, was ein affiner raum ist, und die frage, was affine abhängigkeit und wie man das zeigt hat sich auch geklärt, aber wie man zeigt, dass ein raum ein affiner raum ist .. da habe ich leider keine ahnung:-(
kann mir jemand bitte helfen? :)
Folgendes steht in der Musterlösung:
Seien [mm] z=x+y, z'=x'+y \in V+y[/mm] mit [mm] x,x' \in V[/mm]. Dann gilt für die Affinkombination [mm]\lambda z+(1-\lambda)z'=\lambda x + \lambda y + (1-\lambda)x' + (1- \lambda)y=\lambda x+(1-\lambda)x'+y \in V+y[/mm] wegen [mm]\lambda x+(1-\lambda)x' \in V[/mm], da V vektorraum
die verstehe ich aber nicht.. was versucht man zu machen?
bei vektorraum verstehe ich es, man muss zeigen, dass wenn x,y [mm] \in [/mm] V, dann x+y [mm] \in [/mm] V und [mm] \lambda [/mm] x [mm] \in [/mm] V ..
und dass 0 [mm] \in [/mm] V
aber bei affinen räumen? was muss man zeigen?
Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Fr 14.09.2007 | | Autor: | holwo |
habe die musterlösung hingeschrieben
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> Sei W vektorraum, V [mm]\subset[/mm] W ein Untervektorraum sowie
> [mm]V+y=\{x+y|x\in V\}[/mm] für ein y [mm]\in[/mm] W
> Zeigen Sie, dass V+y ein affiner Unterraum ist
> Folgendes steht in der Musterlösung:
> Seien [mm]z=x+y, z'=x'+y \in V+y[/mm] mit [mm]x,x' \in V[/mm]. Dann gilt für
> die Affinkombination [mm]\lambda z+(1-\lambda)z'=\lambda x + \lambda y + (1-\lambda)x' + (1- \lambda)y=\lambda x+(1-\lambda)x'+y \in V+y[/mm]
> wegen [mm]\lambda x+(1-\lambda)x' \in V[/mm], da V vektorraum
>
> die verstehe ich aber nicht.. was versucht man zu machen?
Hallo,
Du hast hier einen Vektorraum W vorgegeben, einen Untervektorraum U desselbigen und einen [mm] y\in [/mm] W.
Dann ist ja W+y ein affiner Raum. Weil affine Räume so gemacht sind.
Nun soll V+y betrachtet werden, und zwar sollst Du zeigen, daß dies ein affiner Unterraum von W+y ist.
Hierzu wird dann der Satz benutzt, daß eine Teilmenge eines affinen Raumes genau dann ein affiner Unterraum ist, wenn zu je zwei Punkten dieser Teilmenge die Gerade durch diese beiden Punkte komplett in der Teilmenge liegt.
Bezogen auf Dein Beispiel ist also zu zeigen, daß mit zwei Punkten [mm] z,z'\in [/mm] V+y auch die Gerade durch z und z' in V+y liegt.
Da [mm] z,z'\in [/mm] V+y, gibt es x,x' in V mit z=x+y und z'=x'+y.
Die Gerade durch z und z' kann man schreiben als [mm] z'+\lambda(z-z'), [/mm] und hier schließt sich nun nahtlos an, was in Deiner Musterlösung steht:
[mm] z'+\lambda(z-z')=
[/mm]
> [mm]\lambda z+(1-\lambda)z'=\lambda x + \lambda y + (1-\lambda)x' + (1- \lambda)y=\lambda x+(1-\lambda)x'+y \in V+y[/mm]
Warum ist [mm] \lambda x+(1-\lambda)x'+y \in [/mm] V+y? Weil x,x' [mm] \in [/mm] V , und da V ein Vektorraum ist, ist auch [mm] x+(1-\lambda)x'\in [/mm] V.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Sa 15.09.2007 | | Autor: | holwo |
vielen vielen Dank!
so ist es ziemlich klarer ..
nur 1 kleine sache:
> Du hast hier einen Vektorraum W vorgegeben, einen
> Untervektorraum U desselbigen und einen [mm]y\in[/mm] W.
> Dann ist ja W+y ein affiner Raum. Weil affine Räume so
> gemacht sind.
ich verstehe nicht warum "affine Räume so gemacht sind". Wenn W mein Vektorraum ist, und ich ein y [mm] \in [/mm] W nehme, und ihn zu allen vektoren von W addiere, bekomme ich nicht nicht wieder W ?
Aber ich habs einfach angenommen 
damit habe ich auch den rest der lösung verstanden, vielen vielen dank!
Gruss,
Edu
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> > Dann ist ja W+y ein affiner Raum. Weil affine Räume so
> > gemacht sind.
Hallo,
Du hast recht, das war ungeschickt formuliert, wenn es auch nicht direkt falsch ist.
Tatsache ist: W+y ergibt wieder W. Und W ist ein Vektorraum, also ein ganz besonderer affiner Raum.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Sa 15.09.2007 | | Autor: | holwo |
stimmt, jeder vektorraum ist ein affiner vektorraum durch 0, hatte nicht daran gedacht,danke!
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