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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Dorothea |
| Aufgabe | Es sei V ein [mm] \mathbb{R}-Vektorraum [/mm] und A eine Teilmenge von V.
(a) Zeigen sie die Äquivalenz der folgenden zwei Aussagen:
(i) A ist ein affiner Unterraum von V.
(ii)A ist nicht leer und für alle a,b $ [mm] \in [/mm] $ A, λ $ [mm] \in [/mm] $ [mm] \mathbb{R} [/mm] gilt:
λa+ (1-λ)b $ [mm] \in [/mm] $A
(b) Was bedeutet die Bedingung (ii) geometrisch? |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Also ich habe erstmal versucht mich mit der a auseinanderzusetzen:
Wir wissen, dass A ein affiner Unterraum ist, somit kann man es folgendermaßen schreiben: A= a+U= (a+u/u $ [mm] \in [/mm] $ U)
leider weiß ich nicht wie man davon dann darauf kommt, dass A nicht leer ist. Und außerdem versteh ich nicht genau wo das λ herkommt.
In die andere Richtung kann ich nur sagen, wir wissen, das A nicht leer ist also enthält es z.B. ja die Elemente a und b.
λa+ (1-λ)b das hab ich versucht umzuschreiben
= λa+ 1b - λb
= b + λ (a-b)
angenommen a,b sind Elemente vom Untervektorraum U dann weiß man (a-b) ist Element von U und wegen der dritten bedingung für Untervekrorräume ist auch λ (a-b) Elemtent von U. Somit kann man schreiben
b+ u bzw b+U und somit hat man bewisen das es ein affiner Unterraum ist?
Ich weiß irgendwie nicht genau weiter.
Vielleicht kannt mir jemand helfen.
Vielen Dank
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Hi,
> Es sei V ein [mm]\mathbb{R}-Vektorraum[/mm] und A eine Teilmenge von
> V.
> (a) Zeigen sie die Äquivalenz der folgenden zwei
> Aussagen:
> (i) A ist ein affiner Unterraum von V.
> (ii)A ist nicht leer und für alle a,b [mm]\in[/mm] A, λ [mm]\in[/mm]
> [mm]\mathbb{R}[/mm] gilt:
> λa+ (1-λ)b [mm]\in [/mm]A
> (b) Was bedeutet die Bedingung
> (ii) geometrisch?
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> Also ich habe erstmal versucht mich mit der a
> auseinanderzusetzen:
>
> Wir wissen, dass A ein affiner Unterraum ist, somit kann
> man es folgendermaßen schreiben: A= a+U= (a+u/u [mm]\in[/mm] U)
Genau [mm] $A=a+U=\{a+u | u\in U\}. [/mm] Wobei U ein Untervektorraum ist.
> leider weiß ich nicht wie man davon dann darauf kommt,
> dass A nicht leer ist. Und außerdem versteh ich nicht
> genau wo das λ herkommt.
Du musst ja nur zeigen, das ein Element in A liegt. Was weißt du laut den Axiomen über U?
Nun seien [mm] $x,y\in [/mm] A$. Also [mm] $x=a+u_1$ [/mm] und [mm] $y=a+u_2$ [/mm] mit [mm] $u_1,u_2\in [/mm] U$. Auch hier kannst du es auf die Untervektorraumaxiome schieben, dass [mm] $\lambda [/mm] x + [mm] (1-\lambda [/mm] )y [mm] \in [/mm] A$
Versuch erst einmal diese Richtung.
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> In die andere Richtung kann ich nur sagen, wir wissen, das
> A nicht leer ist also enthält es z.B. ja die Elemente a
> und b.
> λa+ (1-λ)b das hab ich versucht umzuschreiben
> = λa+ 1b - λb
> = b + λ (a-b)
>
> angenommen a,b sind Elemente vom Untervektorraum U dann
> weiß man (a-b) ist Element von U und wegen der dritten
> bedingung für Untervekrorräume ist auch λ (a-b)
> Elemtent von U. Somit kann man schreiben
>
> b+ u bzw b+U und somit hat man bewisen das es ein affiner
> Unterraum ist?
Geometrische Bedeutung für zwei Punkte und ein [mm] $\lambda$ [/mm] jetzt mit zusaätzlich [mm] $\lambda \in [/mm] [0,1]$ ist [mm] $\lambda [/mm] a + [mm] (1-\lambda [/mm] )b$. Die Verbindungsstrecke. Mach dir das klar, indem du einmal Lambda 0,1 und 0.5 ,... setzt.
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> Ich weiß irgendwie nicht genau weiter.
> Vielleicht kannt mir jemand helfen.
> Vielen Dank
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