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| Aufgabe | Gegeben ist der durch die Punkte
y0 := (1; 1; 1; 1); y1 := (2; 3; 1; 1); y2 := (3; 5; 2; 6); y3 := (1; 1; 3; 3)
bestimmte affinen Unterraums L von R4
.
10.1 Bestimmen Sie ein lineares Gleichungssystem, das L [mm] \subseteq [/mm] R4
beschreibt! Welche Bedeutung haben die Koeffizienten der linken Seiten
der Gleichungen? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich hab die Aufgabe vorhin gerechnet und mein Ergebnis kommt mir ziemlich Spanisch vor. Vor allem Gauß hat mir in diesem Fall Probleme bereitet.
1. Schritt: Punkt - Richtungsform
2. Schritt Gauß:
1 2 -2 0 | 0
2 4 1 -5 | 0
0 0 2 -2 | 0
Nach Auflösung folgt:
1 2 3 -5 | 0
0 0 1 -1 | 0
B F F F
Ab hier wusste ich nicht mehr wirklich wie ich weiter machen soll. Ich hab die erste Fehlspalte als Lösungsfaktor bestimmt und den sozusagen mit dem Normalfaktor gleichgesetzt (Oh man, das hört sich ja jetzt schon so falsch an...)
Daraus folgt:
a = (2, -1, 0, 0)
Matrix A = (2, -1, 0, 0) x (1, 1, 1, -1) = 1
LGS:
2x1 - x2 = 1
Ich hoffe, der Eintrag passt so! War mein erster in diesem Forum!
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!!!
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> Gegeben ist der durch die Punkte
> y0 := (1; 1; 1; 1); y1 := (2; 3; 1; 1); y2 := (3; 5; 2;
> 6); y3 := (1; 1; 3; 3)
> bestimmte affinen Unterraums L von R4
> .
> 10.1 Bestimmen Sie ein lineares Gleichungssystem, das L
> [mm]\subseteq[/mm] R4
> beschreibt! Welche Bedeutung haben die Koeffizienten der
> linken Seiten
> der Gleichungen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> Ich hab die Aufgabe vorhin gerechnet und mein Ergebnis
> kommt mir ziemlich Spanisch vor. Vor allem Gauß hat mir in
> diesem Fall Probleme bereitet.
>
> 1. Schritt: Punkt - Richtungsform
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du machst uns das Nachvollziehen Deiner Überlegungen leichter, wenn Du uns zeigst, wie Deine Punkt-Richtungsform aussieht.
> 2. Schritt Gauß:
Offenbar hast Du anschließend ein GS aufgestellt.
Welches?
Formuliere genau, was Du damit bezweckst. Was möchtest Du ausrechnen?
Gruß v. Angela
>
> 1 2 -2 0 | 0
> 2 4 1 -5 | 0
> 0 0 2 -2 | 0
>
> Nach Auflösung folgt:
>
> 1 2 3 -5 | 0
> 0 0 1 -1 | 0
> B F F F
>
> Ab hier wusste ich nicht mehr wirklich wie ich weiter
> machen soll. Ich hab die erste Fehlspalte als
> Lösungsfaktor bestimmt und den sozusagen mit dem
> Normalfaktor gleichgesetzt (Oh man, das hört sich ja jetzt
> schon so falsch an...)
>
> Daraus folgt:
>
> a = (2, -1, 0, 0)
>
> Matrix A = (2, -1, 0, 0) x (1, 1, 1, -1) = 1
>
> LGS:
>
> 2x1 - x2 = 1
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> Ich hoffe, der Eintrag passt so! War mein erster in diesem
> Forum!
>
> Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!!!
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Hallo Angela! Danke für die Info!
also nochmal von Vorne.
1. Schritt: Punkt - Richtungsform
L = y0 + U1 + U2 + U3
<u1, y0> = (1,2,-2,0)
<u2, y0> = (2,4,1,-5)
<u3, y0> = ( 0,0,2,-2)
2. Schritt: Daraufhin stelle ich ein GS auf:
I. x1 + 2x2 - 2x3 = 0
II. 2x1 + 4x2 + x3 - 5x4 = 0
III. 2x3 - 2x4 = 0
3. Schritt: Gauss
1 2 -2 0 | 0
2 4 1 -5 | 0
0 0 2 -2 | 0
Nach Auflösung folgt:
1 2 3 -5 | 0
0 0 1 -1 | 0
B F F F
Durch Gauss hätte ich dann ein neues GS aufstellen können... (in dem Fall also)
I. x1 + 2x2 + 3x3 - 5x4 = 0
II. x3 - x4 = 0
Nach meinem Schema hätte ich jetzt x4 = - 1 gesetzt und in das GS eingesetzt. Dadurch hätte ich dann x3 bestimmen können, anschließend x2 und letztendlich x1, aber gerade da steh ich auf'm Schlauch! Ich kann nur x4 und x3 ermitteln und dann hab ich in der ersten Gleichung gleich 2 Unbekannte.
Ich hoff, das macht jetzt mehr Sinn!
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> Hallo Angela! Danke für die Info!
>
> also nochmal von Vorne.
>
> 1. Schritt: Punkt - Richtungsform
>
> L = y0 + U1 + U2 + U3
>
> <u1, y0> = (1,2,-2,0)
> <u2, y0> = (2,4,1,-5)
> <u3, y0> = ( 0,0,2,-2)
>
Hallo,
Du mußt Deine Buchstaben erklären und das, was Du tust. Was meinst Du mit [mm] U_i [/mm] und [mm] u_i?
[/mm]
Wofür stehen Deine spitzen Klammern?
Wo ist nun die Punkt-Richungsform zu sehen? So richtig mit Zahlen.
Gruß v. Angela
> 2. Schritt: Daraufhin stelle ich ein GS auf:
>
> I. x1 + 2x2 - 2x3 = 0
> II. 2x1 + 4x2 + x3 - 5x4 = 0
> III. 2x3 - 2x4 = 0
>
> 3. Schritt: Gauss
>
> 1 2 -2 0 | 0
> 2 4 1 -5 | 0
> 0 0 2 -2 | 0
>
> Nach Auflösung folgt:
>
> 1 2 3 -5 | 0
> 0 0 1 -1 | 0
> B F F F
>
> Durch Gauss hätte ich dann ein neues GS aufstellen
> können... (in dem Fall also)
>
> I. x1 + 2x2 + 3x3 - 5x4 = 0
> II. x3 - x4 = 0
>
> Nach meinem Schema hätte ich jetzt x4 = - 1 gesetzt und in
> das GS eingesetzt. Dadurch hätte ich dann x3 bestimmen
> können, anschließend x2 und letztendlich x1, aber gerade
> da steh ich auf'm Schlauch! Ich kann nur x4 und x3
> ermitteln und dann hab ich in der ersten Gleichung gleich 2
> Unbekannte.
>
> Ich hoff, das macht jetzt mehr Sinn!
</u3,></u2,></u1,>
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Ich meine "Ui" und die eckigen Klammern waren ne flasche Bezeichnung. Sorry!
Mein Problem liegt aber nicht im Schritt VOR Gauss. Das muss nämlich stimmen. Mein Problem ist, dass ich nach Gauss nicht mehr weiß, wie ich weiter mach bzw. wie ich x4, x3, x2 und x1 bestimmen kann!
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> Ich meine "Ui" und die eckigen Klammern waren ne flasche
> Bezeichnung. Sorry!
Hallo,
und wie sollte es richtig heißen?
>
> Mein Problem liegt aber nicht im Schritt VOR Gauss.
Das mag ja sein.
Aber MEIN Problem ist, daß ich Dir gerne helfen würde, aber nicht Deine ganz konkrete Punkt-Richtungsform mit Gleichheitszeichen und Zahlen (und Parametern) und allem Drum und Dran sehe.
Die bräuchte man, wenn man gemeinsam sinnvoll weitermachen möchte.
Ich frage mich z.B. auch, wo die
<u1, y0> = (1,2,-2,0)
<u2, y0> = (2,4,1,-5)
<u3, y0> = ( 0,0,2,-2)
herkommen - mal ganz abgesehen von den spitzen Klammern.
Die Verbindungsvektoren von [mm] p_0 [/mm] mit den anderen drei Punkten scheinen es ja nicht zu sein, und das macht mich ratlos.
Um Dir zu helfen, müßte ich eine Ahnung davon haben, was Du tust.
> Das
> muss nämlich stimmen.
Ach.
> Mein Problem ist, dass ich nach
> Gauss nicht mehr weiß,
wie gesagt: vor dem Gauß ist nach dem Gauß...
Mir ist nicht klar, wo Dein Gleichungssystem herkommt.
> wie ich weiter mach bzw. wie ich
> x4, x3, x2 und x1 bestimmen kann!
Man soll ja keine [mm] x_i [/mm] bestimmen.
Man soll ein Gleichungssystem mit 4 Variablen und einer noch zu überlegenden Anzahl von Gleichungen aufstellen, dessen Lösungsmenge genau der affine Raum L ist.
Gruß v. Angela
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Meine Antwort sollte nicht "patzig" klingen, falls du das so aufgefasst hast. Falls ja, dann tut's mir leid. Also, hier nochmal meine Rechnung. Hilft das jetzt weiter?
Punktrichtungsform von L
[mm] \IL [/mm] = y0 + Ui
[mm] \IL [/mm] = y0 + [mm] \IRu1 [/mm] + [mm] \IRu2 [/mm] + [mm] \IRu3
[/mm]
u1 = y1 - y0 = (2,3,-1,-1) - (1,1,1,-1) = (1,2,-2,0)
u2 = y2 - y0 = (3,5,2,-6) - (1,1,1,-1) = (2,4,1,-5)
u3 = y3 - y0 = (1,1,3,-3)-(1,1,1,-1) = (0,0,2,-2)
[mm] \IL [/mm] = (1,1,1,-1) + [mm] \IR(1,2,-2,0) [/mm] + [mm] \IR(2,4,1-5) [/mm] + [mm] \IR(0,0,2,-2)
[/mm]
Daraus folgt:
I. x1 + 2x2 - 2x3 = 0
II. 2x1 + 4x2 + x3 - 5x4 = 0
III. 2x3 - 2x4 = 0
Nun kommt Gauß:
2 4 1 -5 | 0 Z1 || Z1 - Z2
1 2 -2 0 | 0
0 0 2 -2 | 0
1 2 3 -5 | 0
1 2 -2 0 | 0 Z2 || Z2 - Z1
0 0 2 -2 | 0
1 2 3 -5 | 0
0 0 -5 5 | 0 Z2 || Z2 : (-5)
0 0 2 -2 | 0 Z3 || Z3 : (2)
1 2 3 -5 | 0
0 0 1 -1 | 0
0 0 1 -1 | 0 Z3 || Z3 - Z2
1 2 3 -5 | 0
0 0 1 -1 | 0
B F F F
Und hab hier weiß ich nicht wie ich weiter vorgehen soll.
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Das $ [mm] \IL [/mm] $ = y0 + $ [mm] \IRu1 [/mm] $ + $ [mm] \IRu2 [/mm] $ + $ [mm] \IRu3 [/mm] $
sollte eigentlich:
$ [mm] \IL [/mm] $ = y0 + $ [mm] \IR [/mm] u1 $ + $ [mm] \IR [/mm] u2 $ + $ [mm] \IR [/mm] u3 $
sein.
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Hallo,
das erklärt manches: Du hattest im Eingangspost andere Koordinaten der Punkte angegeben.
Ich hab' jetzt keine Zeit, aber sicher später, falls Dir kein anderer vorher hilft.
Gruß v. Angela
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Oh man! Das gibt's ja nicht! Ich hab die Aufgabe nur kopiert (also copy&paste)! SORRY! :(
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> Meine Antwort sollte nicht "patzig" klingen, falls du das
> so aufgefasst hast. Falls ja, dann tut's mir leid. Also,
> hier nochmal meine Rechnung. Hilft das jetzt weiter?
>
> Punktrichtungsform von L
>
> [mm]\IL[/mm] = y0 + Ui
> [mm]\IL[/mm] = y0 + [mm]\IR u1[/mm] + [mm]\IR u2[/mm] + [mm]\IR u3[/mm]
>
> u1 = y1 - y0 = (2,3,-1,-1) - (1,1,1,-1) = (1,2,-2,0)
> u2 = y2 - y0 = (3,5,2,-6) - (1,1,1,-1) = (2,4,1,-5)
> u3 = y3 - y0 = (1,1,3,-3)-(1,1,1,-1) = (0,0,2,-2)
>
> [mm]\IL[/mm] = (1,1,1,-1) + [mm]\IR(1,2,-2,0)[/mm] + [mm]\IR(2,4,1-5)[/mm] +
> [mm]\IR(0,0,2,-2)[/mm]
Hallo,
damit wissen wir, wie die Lösungsmenge des von uns gesuchten Gleichungssystems aussehen soll.
Ich habe zwei mögliche Lösungswege im Angebot.
Weg A setzt voraus, daß man sich schon ein wenig mit inhomogenen linearen Gleichungssystemen und deren Lösungsmengen beschäftigt hat,
bei Weg B muß man eigentlich fast nichts wissen.
Beginnen wir mit
B. Die Elemente [mm] \vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} [/mm] von L haben die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{1\\1\\1\\-1}+r*\vektor{1\\2\\-2\\0}+s*\vektor{2\\4\\1\\-5}+t*\vektor{0\\0\\2\\-2} [/mm] mit [mm] r,s,t\in \IR [/mm] beliebig.
Hieraus gewinnst Du ein Gleichungssystem ("etagenweise" hinschreiben) mit 4 Gleichungen und den Variablen r,s,t.
Behandle die [mm] x_i [/mm] einfach wie irgendwelche Zahlen, und eliminiere suzessive r,s,t.
Am Ende behältst Du eine Gleichung, in welcher bloß noch Zahlen und Vielfache der [mm] x_i [/mm] vorkommen. Das ist das gesuchte Gleichungssystem.
Also in Kurzform als Kochrezept: Punkt-Richtungsform hinschreiben, LGS daraus machen,
Parameter eliminieren, die Gleichungen, die übrigbleiben, bilden das gesuchte GS.
A.
Dies ist der Weg, den Du begonnen hattest zu beschreiten.
Der Lösungsraum ist eine Teilmenge des [mm] \IR^4, [/mm] also haben wir es mit 4 Variablen [mm] x_1,...,x_4 [/mm] zu tun.
Die Dimension des Lösungsraumes ist 3.
Also können wir ein LGS finden, welches aus 4-3 Gleichungen besteht und die Lösungsmenge L hat.
Unser LGS sieht also so aus:
[mm] ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=e.
[/mm]
Die Koeffizienten a,b,c,d,e müssen nun bestimmt werden.
Wir wissen, daß die drei Vektoren [mm] u_i [/mm] eine Basis der Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Systems sind.
Wenn wir diese Vektoren in
[mm] ax_1+bx_2+cx_3+dx_4 [/mm] einsetzen, kommt also 0 heraus.
Damit haben wir
I. a + 2b - 2c = 0
II. 2a + 4b + c - 5d = 0
III. 2c - 2d = 0
(Beachte die überaus starke Ähnlichkeit zu Deinem LGS von zuvor!)
Weiter wissen wir, daß [mm] \vektor{1\\1\\1\\-1} [/mm] eine Lösung unseres Gleichungs"systems" ist. Wir erhalten
IV. a+b+c-d=e
Du hast nun ein LGS mit den fünf Variablen a,b,c,d,e.
Dieses kannst Du lösen. (Die Lösung ist nicht eindeutig, laß Dich dadurch nicht irritieren. Es reicht, wenn Du eine der vielen möglichen Lösungen findest.)
Hast Du das getan, kennst Du a,b,c,d,e.
Nun kannst Du die Gleichung, deren Lösungsraum L ist, hinschreiben.
Wenn nicht alles glatt bis zum Ende durchläuft, poste Dein bisheriges Tun nachvollziehbar, damit man sinnvoll weiterhelfen kann.
Gruß v. Angela
>
> Nun kommt Gauß:
>
> 2 4 1 -5 | 0 Z1 || Z1 - Z2
> 1 2 -2 0 | 0
> 0 0 2 -2 | 0
>
> 1 2 3 -5 | 0
> 1 2 -2 0 | 0 Z2 || Z2 - Z1
> 0 0 2 -2 | 0
>
> 1 2 3 -5 | 0
> 0 0 -5 5 | 0 Z2 || Z2 : (-5)
> 0 0 2 -2 | 0 Z3 || Z3 : (2)
>
> 1 2 3 -5 | 0
> 0 0 1 -1 | 0
> 0 0 1 -1 | 0 Z3 || Z3 - Z2
>
> 1 2 3 -5 | 0
> 0 0 1 -1 | 0
> B F F F
>
> Und hab hier weiß ich nicht wie ich weiter vorgehen soll.
>
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