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| Aufgabe | Unter einem affinen Teilraum eines Vektorraums V verstehen wir jede Teilmenge der Form E= [mm] \varepsilon [/mm] +W
wobei W einen Teilraum von V bezeichnet und [mm] \varepsilon \in [/mm] V |
Frage:
1. Warum ist W -> E, w -> [mm] \varepsilon [/mm] + w eine Bijektion?
2. Warum ist die Dimension des affinen Teilraums E gleich die Dimension des (dazu parallelen) Teilraums W?
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> Unter einem affinen Teilraum eines Vektorraums V verstehen
> wir jede Teilmenge der Form E= [mm]\varepsilon[/mm] +W
> wobei W einen Teilraum von V bezeichnet und [mm]\varepsilon \in[/mm] V
Hallo,
Du kennst solche affinen Teilräume aus der Schule: sämtliche Geraden im [mm] \IR^2 [/mm] oder [mm] \IR^3, [/mm] ebenso sämtliche Ebenen im [mm] \IR^3 [/mm] sin affine Teilräume des [mm] \IR^2 [/mm] bzw. [mm] \IR^3.
[/mm]
Klarmachen solltest Du Dir: affine Teilräume sind i.a. keine Teilräume (also keine Untervektorräume.)
Dies nur vorweg.
> Frage:
> 1. Warum ist W -> E, w -> [mm]\varepsilon[/mm] + w eine Bijektion?
Weil die Abbildung, nennen wir sie f, injektiv und surjektiv ist.
Dies zu zeigen solltest Du mal allein versuchen.
>
> 2. Warum ist die Dimension des affinen Teilraums E gleich
> die Dimension des (dazu parallelen) Teilraums W
Gehen wir's erstmal intuitiv an: wenn Du einer Ebene im [mm] \IR^3 [/mm] eine Dimension zuweisen solltest, welche würdest Du nehmen?
Ich denke mal, daß Ihr halt definiert habt, daß die Dimension eines affinen Teilraumes die Dimension des zugehörigen Teilraumes W ist.
Und "rein gefühlsmäßig" paßt das ja auch gut.
LG Angela
>
>
>
>
>
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Zu 1)
Inj: ZZ aus [mm] f(w_1)=f(w_2) [/mm] folgt [mm] w_1 =w_2
[/mm]
[mm] f(w_1) [/mm] = [mm] f(w_2)
[/mm]
[mm] \varepsilon [/mm] + [mm] w_1 [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] w_2
[/mm]
[mm] w_1 [/mm] = [mm] w_2
[/mm]
Surj: ZZ: [mm] \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] E [mm] \exists [/mm] w [mm] \in [/mm] W mit f(w)=z
f(w) = [mm] \varepsilon [/mm] + w = z
da z [mm] \in [/mm] E lässt es sich in der form [mm] \varepsilon [/mm] + w darstellen
Ich hoffe das passt.
Frage: Ist f:W->E , w-> [mm] \varepsilon [/mm] + w nur dann linear wenn [mm] \varepsilon [/mm] =0 ist?
> wenn Du einer Ebene im $ [mm] \IR^3 [/mm] $ eine Dimension zuweisen solltest, welche würdest Du nehmen?
2
> Ich denke mal, daß Ihr halt definiert habt, daß die Dimension eines affinen Teilraumes die Dimension des zugehörigen Teilraumes W ist.
Ja da steht alleine in meinen Skriptum, gibts da auch einen Beweis dazu?
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> Zu 1)
> Inj: ZZ aus [mm]f(w_1)=f(w_2)[/mm] folgt [mm]w_1 =w_2[/mm]
> [mm]f(w_1)[/mm] = [mm]f(w_2)[/mm]
> [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]w_1[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]w_2[/mm]
> [mm]w_1[/mm] = [mm]w_2[/mm]
>
> Surj: ZZ: [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] E [mm]\exists[/mm] w [mm]\in[/mm] W mit f(w)=z
> f(w) = [mm]\varepsilon[/mm] + w = z
> da z [mm]\in[/mm] E lässt es sich in der form [mm]\varepsilon[/mm] + w
> darstellen
Du mußt die Surjektivität etwas anders angehen.
Sei [mm] z\in [/mm] E. Dann läßt sich z nach Def. von E schreiben als [mm] z=\varepsilon [/mm] +w mit eindeutig bestimmtem [mm] w\in [/mm] W.
Und nun mach vor, daß w auf z abgebildet wird.
>
> Ich hoffe das passt.
> Frage: Ist f:W->E , w-> [mm]\varepsilon[/mm] + w nur dann linear
> wenn [mm]\varepsilon[/mm] =0 ist?
Ja, die Linearität platzt, denn die 0 wird nicht auf die 0 abgebildet.
>
> > wenn Du einer Ebene im [mm]\IR^3[/mm] eine Dimension zuweisen
> solltest, welche würdest Du nehmen?
> 2
Ich auch.
> > Ich denke mal, daß Ihr halt definiert habt, daß die
> Dimension eines affinen Teilraumes die Dimension des
> zugehörigen Teilraumes W ist.
> Ja da steht alleine in meinen Skriptum, gibts da auch einen
> Beweis dazu?
Wenn es so definiert wurde, ist das eine Definition - da gibt's nichts zu beweisen.
Oder habt Ihr Dimension irgendwie anders definiert?
LG Angela
>
>
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Hei
> > Surj: ZZ: [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] E [mm]\exists[/mm] w [mm]\in[/mm] W mit f(w)=z
> > f(w) = [mm]\varepsilon[/mm] + w = z
> > da z [mm]\in[/mm] E lässt es sich in der form [mm]\varepsilon[/mm] + w
> > darstellen
>
> Du mußt die Surjektivität etwas anders angehen.
> Sei [mm]z\in[/mm] E. Dann läßt sich z nach Def. von E schreiben
> als [mm]z=\varepsilon[/mm] +w mit eindeutig bestimmtem [mm]w\in[/mm] W.
> Und nun mach vor, daß w auf z abgebildet wird.
f(w)= w + [mm] \epsilon [/mm] = (z - [mm] \varepsilon) [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] = z
Meintest du so?
> > Ich hoffe das passt.
> > Frage: Ist f:W->E , w-> [mm]\varepsilon[/mm] + w nur dann linear
> > wenn [mm]\varepsilon[/mm] =0 ist?
>
> Ja, die Linearität platzt, denn die 0 wird nicht auf die 0
> abgebildet.
>
> >
> > > wenn Du einer Ebene im [mm]\IR^3[/mm] eine Dimension zuweisen
> > solltest, welche würdest Du nehmen?
> > 2
>
> Ich auch.
>
> > > Ich denke mal, daß Ihr halt definiert habt, daß die
> > Dimension eines affinen Teilraumes die Dimension des
> > zugehörigen Teilraumes W ist.
> > Ja da steht alleine in meinen Skriptum, gibts da auch einen
> > Beweis dazu?
>
> Wenn es so definiert wurde, ist das eine Definition - da
> gibt's nichts zu beweisen.
ok, dann nehme ich es so hin.
Noch eine Frage:
Skript: Sei m=dim(V) und [mm] \alpha_1,...,\alpha_{m-k} [/mm] ein Gleichungssystem für W, dh. W= [mm] \bigcap_{i=1}^{m-k} ker(\alpha_i).
[/mm]
Dann stimmt E also mit der Lösungsmenge des folgenden inhomogenen Systems überein:
[mm] \alpha_1 [/mm] (v) = [mm] \alpha_1 (\varepsilon)
[/mm]
...
...
[mm] \alpha_{m-k} [/mm] (v) = [mm] \alpha_{m-k} (\varepsilon)
[/mm]
> Der letzte Satz ist mir nicht klar. Verstehst du was das "v" überhaupt ist?
Jeder affine Teilraum E [mm] \subseteq [/mm] V kann daher durch dim(V) - dim(E) inhomogenen linearen Gleichungen beschrieben werden.
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> Hei
> > > Surj: ZZ: [mm]\forall[/mm] z [mm]\in[/mm] E [mm]\exists[/mm] w [mm]\in[/mm] W mit f(w)=z
> > > f(w) = [mm]\varepsilon[/mm] + w = z
> > > da z [mm]\in[/mm] E lässt es sich in der form [mm]\varepsilon[/mm] +
> w
> > > darstellen
> >
> > Du mußt die Surjektivität etwas anders angehen.
> > Sei [mm]z\in[/mm] E. Dann läßt sich z nach Def. von E
> schreiben
> > als [mm]z=\varepsilon[/mm] +w mit eindeutig bestimmtem [mm]w\in[/mm] W.
> > Und nun mach vor, daß w auf z abgebildet wird.
> f(w)= w + [mm]\epsilon[/mm] = (z - [mm]\varepsilon)[/mm] + [mm]\epsilon[/mm] = z
> Meintest du so?
Hallo,
ja, so hab' ich mir das vorgestellt.
> > Wenn es so definiert wurde, ist das eine Definition - da
> > gibt's nichts zu beweisen.
> ok, dann nehme ich es so hin.
Ja, das ist im Falle von Definitionen die adäquate Vorgehensweise: betasten, riechen, in den Mund stecken, kauen, runterschlucken.
(Da in den Anfängervorlesungen i.d.R. keine brandneuen Erkenntnisse präsentiert werden, kannst Du sogar davon ausgehen, daß andere schon geprüft haben, ob's wirklich nicht giftig ist.)
>
> Noch eine Frage:
> Skript: Sei m=dim(V),
k=dim W
> und [mm]\alpha_1,...,\alpha_{m-k}[/mm] ein
> Gleichungssystem für W, dh. W= [mm]\bigcap_{i=1}^{m-k} ker(\alpha_i).[/mm]
Gelernt hast Du bereits, daß der Unterraum W Lösungsraum eines homogenen LGS ist, welches aus m-k Gleichungen mit m Variablen besteht.
Die [mm] a_j [/mm] sind die j-ten Zeilen der entsprechenden Koeffizientenmatrix A, also [mm] A=\vektor{\alpha_1\\\vdots\\\alpha_{m-k}}, [/mm] und [mm] W=L(A,0)=\{x\in V|Ax=0\}.
[/mm]
Es ist dann für jedes [mm] w\in [/mm] W
[mm] \alpha_1*w=0
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] \alpha_{m-k}*w=0
[/mm]
Nun sei [mm] E:=\varepsilon [/mm] +W mit [mm] \varepsilon\in [/mm] V.
> Dann stimmt E also mit der Lösungsmenge des folgenden
> inhomogenen Systems überein:
> [mm]\alpha_1[/mm] (v) = [mm]\alpha_1 (\varepsilon)[/mm]
> ...
> ...
> [mm]\alpha_{m-k}[/mm] (v) = [mm]\alpha_{m-k} (\varepsilon)[/mm]
> > Der
> letzte Satz ist mir nicht klar. Verstehst du was das "v"
> überhaupt ist?
Nenne das v lieber x.
Dann steht da: jedes Element aus E löst das GS
[mm] $\alpha_1$ [/mm] (x) = [mm] $\alpha_1 (\varepsilon)$
[/mm]
...
...
[mm] $\alpha_{m-k}$ [/mm] (x) = [mm] $\alpha_{m-k} (\varepsilon)$, [/mm]
und jede Lösung des GSs ist in E.
Schauen wir mal nach, stimmt.
Sei x [mm] \in [/mm] E. ann ist [mm] x=\varepsilon [/mm] +w mit [mm] w\in [/mm] W.
Nun setze ein.
Jetzt andersrum: sei [mm] x\in [/mm] V eine Lösung des Systems.
Dann gilt
[mm] $\alpha_1$ [/mm] (x) = [mm] $\alpha_1 (\varepsilon)$
[/mm]
...
...
[mm] $\alpha_{m-k}$ [/mm] (x) = [mm] $\alpha_{m-k} (\varepsilon)$
[/mm]
<==>
[mm] $\alpha_1$ (x-\varepsilon) [/mm] = 0
...
...
[mm] $\alpha_{m-k}$ (x-\varepsilon)=0.
[/mm]
Also ist [mm] x-\varepsilon \in [/mm] W, dh. [mm] x-\varepsilon=w [/mm] mit [mm] w\in [/mm] W,
also [mm] x=\varepsilon +w\in [/mm] E.
LG Angela
P.S.: Am besten macht man sich ein Beispiel für sowas.
Nimm doch z.B. mal [mm] E:=\vektor{1\\2\\3}+<\vektor{1\\1\\1},\vektor{2\\1\\1}> [/mm] und versuche, das GS zu finden.
> Jeder affine Teilraum E [mm]\subseteq[/mm] V kann daher durch
> dim(V) - dim(E) inhomogenen linearen Gleichungen
> beschrieben werden.
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Danke ;)) Ich glaub darauf wäre ich nie selbst gekommen ;) Dank dir vielmals!
> $ [mm] \alpha_1 [/mm] $ (x) = $ [mm] \alpha_1 (\varepsilon) [/mm] $
...
...
> $ [mm] \alpha_{m-k} [/mm] $ (x) = $ [mm] \alpha_{m-k} (\varepsilon) [/mm] $,
> und jede Lösung des GSs ist in E.
> Schauen wir mal nach, stimmt.
> Sei x $ [mm] \in [/mm] $ E. ann ist $ [mm] x=\varepsilon [/mm] $ +w mit $ [mm] w\in [/mm] $ W.
> Nun setze ein.
<=>
[mm] \alpha_1 (\varepsilon [/mm] + w) = [mm] \alpha_1 (\varepsilon)
[/mm]
...
...
[mm] \alpha_{m-k} (\varepsilon [/mm] + w) = $ [mm] \alpha_{m-k} (\varepsilon) [/mm] $,
<=>
[mm] \alpha_1 (\varepsilon) [/mm] + [mm] \alpha_1 [/mm] (w) = [mm] \alpha_1 (\varepsilon)
[/mm]
...
...
[mm] \alpha_{m-k} (\varepsilon) +\alpha_{m-k}(w)=$ \alpha_{m-k}(\varepsilon) [/mm] $,
<=>
[mm] \alpha_1 (\varepsilon) [/mm] = [mm] \alpha_1 (\varepsilon)
[/mm]
...
...
[mm] \alpha_{m-k} (\varepsilon) [/mm] =$ [mm] \alpha_{m-k}(\varepsilon) [/mm] $,
korrekt
> Nimm doch z.B. mal $ [mm] E:=\vektor{1\\2\\3}+<\vektor{1\\1\\1},\vektor{2\\1\\1}> [/mm] $ und versuche, das GS zu finden.
Mittels Spaltenumformungen erhalten wir
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1\\0&1 }
[/mm]
es gilt daher dim(W)=2=dim(E). dim(V)=3 also 3-2=1 Gleichung
Daraus lesen wir ein minimales Gleichungssystem für W ab.
[mm] -x_2 [/mm] + [mm] x_3=0
[/mm]
Einsetzten des Punktes liefert dann folgendes minimale Gleichungssystem für E.
[mm] 1=-x_2 [/mm] + [mm] x_3
[/mm]
LG
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> > Nimm doch z.B. mal
> [mm]E:=\vektor{1\\
2\\
3}+<\vektor{1\\
1\\
1},\vektor{2\\
1\\
1}>[/mm] und
> versuche, das GS zu finden.
> Mittels Spaltenumformungen erhalten wir
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1\\
0&1 }[/mm]
> es gilt daher
> dim(W)=2=dim(E). dim(V)=3 also 3-2=1 Gleichung
> Daraus lesen wir ein minimales Gleichungssystem für W
> ab.
> [mm]-x_2[/mm] + [mm]x_3=0[/mm]
> Einsetzten des Punktes liefert dann folgendes minimale
> Gleichungssystem für E.
> [mm]1=-x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm]
Hallo,
ja, genau.
Hast Du das GS auch gelöst und geguckt, ob wirklich E herauskommt?
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Mo 20.02.2012 | | Autor: | theresetom |
ja war alles klar und nachvollziehbar;)
Liebe grüße
und Danke ;))
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