Affines LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 Mi 19.11.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Der affine Raum B [mm] \subset K^5 [/mm] ist durch folgendes LGS beschrieben.
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] + [mm] 4x_4 [/mm] + [mm] x_5 [/mm] = 1
[mm] 2x_1 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 3
[mm] 4x_1 [/mm] + [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 7x_3 [/mm] + [mm] 9x_4 [/mm] + [mm] 2x_5 [/mm] = 5
[mm] x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 2x_3 [/mm] - [mm] 3x_4 [/mm] - [mm] x_5 [/mm] = 2
a) Bestimme Richtung und Dimension von B und beschreibe B in Parameterform
b) Verwandle diese in parameterfreie Form und zeige, dass es sich um denselben affinen Raum B handelt |
Hallo!
Ich muss ehrlich zugeben, dass ich mir absolut nicht sicher bin, ob meine halbe Lösung richtig ist.
a)
Eine nichtleere Teilmenge U [mm] \subset [/mm] V heißt affiner Unterraum von V, wenn es ein [mm] u_0 \in [/mm] V und einen Untervektorraum B von V gibt mit:
B = [mm] u_0 [/mm] + U = [mm] \{ u_0 + U | U \in V \}
[/mm]
Mit der Dimension verhält es sich folgendermaßen:
dim B := dim U
Der zu einem affinen Unterraum B eindeutig bestimmte Unterraum U heoßt die Richtung von B.
Die Richtung ergibt sich aus:
Lösungsmenge von [mm] A\overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0}
[/mm]
Das bedeutet dass der Nullspace der Koeffizientenmatrix A die Richtung ist.
Ich habe dies mit Mathematica gerechnet:
NullSpace[A] = [mm] \{ \vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 2}, \vektor{-2 \\ -5 \\ 4 \\ 0 \\ 0} \}
[/mm]
Hier bin ich mir nicht sicher - die Dimension ergibt sich aus:
dim(A) = Anzahl der Variablen - Rang(A).
muss ich hier die erweiterte Matrix - Koeffizientenmatrix mit Lösungsvektor - verwenden oder nur die Koeffizientenmatrix?
ich habe bei meinem Versuch nur die einfache Koeffizientenmatrix verwendet.
Jedenfalls bekomme ich 2 als Wert für die Dimension heraus. Entspricht ja auch der Anzahl der Basisvektoren.
Nun zu der Darstellung von B in Parameterform:
"Ist B = [mm] u_0 [/mm] + U und [mm] a_1, [/mm]
, [mm] a_k [/mm] eine Basis von U, so heißt
u = [mm] u_0 [/mm] + [mm] \lambda_1 a_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 a_2 [/mm] +
+ [mm] \lambda_k a_k
[/mm]
eine Parameterdarstellung von B mit Anfangspunkt [mm] u_0 [/mm] und Richtungsvektoren [mm] a_1, [/mm]
, [mm] a_k."
[/mm]
Das bedeutet dass ich B folgend darstellen kann:
u = [mm] u_0 [/mm] + [mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] \vektor{-2 \\ -5 \\ 4 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
wobei [mm] u_0 [/mm] der Anfangspunkt und die [mm] a_i´s [/mm] die Richtungsvektoren sind.
Stimmt das soweit?
ad b)
Wie kann ich die Parameterdarstellung in eine parameterfreie Form umschreiben?
Weiters weiß ich nicht wie man dann zeigen kann dass es sich um denselben affinen raum handelt
vielen dank für jede hilfe!!!!!
lg
|
|
| |
|
> Der affine Raum B [mm]\subset K^5[/mm] ist durch folgendes LGS
> beschrieben.
>
> [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] + [mm]4x_4[/mm] + [mm]x_5[/mm] = 1
> [mm]2x_1[/mm] + [mm]x_3[/mm] + [mm]x_4[/mm] = 3
> [mm]4x_1[/mm] + [mm]4x_2[/mm] + [mm]7x_3[/mm] + [mm]9x_4[/mm] + [mm]2x_5[/mm] = 5
> [mm]x_1[/mm] - [mm]2x_2[/mm] - [mm]2x_3[/mm] - [mm]3x_4[/mm] - [mm]x_5[/mm] = 2
>
> a) Bestimme Richtung und Dimension von B und beschreibe B
> in Parameterform
> b) Verwandle diese in parameterfreie Form und zeige, dass
> es sich um denselben affinen Raum B handelt
> Hallo!
>
> Ich muss ehrlich zugeben, dass ich mir absolut nicht sicher
> bin, ob meine halbe Lösung richtig ist.
>
> a)
> Eine nichtleere Teilmenge U [mm]\subset[/mm] V heißt affiner
> Unterraum von V, wenn es ein [mm]u_0 \in[/mm] V und einen
> Untervektorraum B von V gibt mit:
> B = [mm]u_0[/mm] + U = [mm]\{ u_0 + U | U \in V \}[/mm]
>
> Mit der Dimension verhält es sich folgendermaßen:
> dim B := dim U
>
> Der zu einem affinen Unterraum B eindeutig bestimmte
> Unterraum U heoßt die Richtung von B.
>
>
> Die Richtung ergibt sich aus:
> Lösungsmenge von [mm]A\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\overrightarrow{0}[/mm]
>
> Das bedeutet dass der Nullspace der Koeffizientenmatrix A
> die Richtung ist.
>
> Ich habe dies mit Mathematica gerechnet:
>
> NullSpace[A] = [mm]\{ \vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 2}, \vektor{-2 \\ -5 \\ 4 \\ 0 \\ 0} \}[/mm]
>
> Hier bin ich mir nicht sicher - die Dimension ergibt sich
> aus:
> dim(A) = Anzahl der Variablen - Rang(A).
>
> muss ich hier die erweiterte Matrix - Koeffizientenmatrix
> mit Lösungsvektor - verwenden oder nur die
> Koeffizientenmatrix?
> ich habe bei meinem Versuch nur die einfache
> Koeffizientenmatrix verwendet.
>
> Jedenfalls bekomme ich 2 als Wert für die Dimension heraus.
> Entspricht ja auch der Anzahl der Basisvektoren.
>
> Nun zu der Darstellung von B in Parameterform:
>
> "Ist B = [mm]u_0[/mm] + U und [mm]a_1,[/mm]
, [mm]a_k[/mm] eine Basis von U, so
> heißt
> u = [mm]u_0[/mm] + [mm]\lambda_1 a_1[/mm] + [mm]\lambda_2 a_2[/mm] +
+ [mm]\lambda_k a_k[/mm]
>
> eine Parameterdarstellung von B mit Anfangspunkt [mm]u_0[/mm] und
> Richtungsvektoren [mm]a_1,[/mm]
, [mm]a_k."[/mm]
>
> Das bedeutet dass ich B folgend darstellen kann:
>
> u = [mm]u_0[/mm] + [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 2}[/mm] +
> [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]\vektor{-2 \\ -5 \\ 4 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> wobei [mm]u_0[/mm] der Anfangspunkt und die [mm]a_i´s[/mm] die
> Richtungsvektoren sind.
>
> Stimmt das soweit?
Hallo,
Deine Vektoren habe ich nicht nachgerechnet - aber mathematica wird das schon richtig können.
Du mußt nun natürlich auch für Dein [mm] u_0 [/mm] noch einen konkreten vektor angeben.
Bei dieser Aufgabe ist erstmal nichts anders zu tun, als die Lösungsmenge des obigen LGS zu bestimmen, z.B. mit dem Gaußverfahren.
>
> ad b)
> Wie kann ich die Parameterdarstellung in eine
> parameterfreie Form umschreiben?
Ich nehme mal an, daß hier sowas gemeint ist:
[mm] \{\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5} | [-Gleichungssystem.v.oben-]\}.
[/mm]
Kann das sein?
Oder Du sollst aus Deiner Parameterdarstellung die Parameter wieder eliminieren und das Gleichungssystem hinschreiben. (?)
> Weiters weiß ich nicht wie man dann zeigen kann dass es sich um denselben affinen raum handelt
Du zeigst dafür, daß jeder Vektor, der in der einen Menge liegt, auch in der anderen ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Do 20.11.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo!
Ich habe nun den wert für [mm] u_0 [/mm] ermittelt - es handelt sich um die spezielle Lösung des LGS Ax = b (auch wieder mit Mathematica...) .
Damit erhalte ich:
B = [mm] \vektor{3/2 \\ -1/4 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] \vektor{-2 \\ -5 \\ 4 \\ 0 \\ 0} [/mm]
Jetzt weiß ich, dass [mm] u_0 [/mm] mein Anfangspunkt ist und die beiden anderen Vektoren die Richtung von B.
Weiters ist B nun wirklich in Parameterform angegeben.
Wenn ich das wieder als LGS angebe - also parameterfrei:
[mm] x_1 [/mm] = 3/2 + 0 [mm] \lambda_1 [/mm] - 2 [mm] \lambda_2 [/mm] = 3/2 - 2 [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = -1/4 - 1 [mm] \lambda_1 [/mm] - 5 [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = 0 + 0 [mm] \lambda_1 [/mm] + 4 [mm] \lambda_2 [/mm] = 4 [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = 0 + 0 [mm] \lambda_1 [/mm] + 0 [mm] \lambda_2 [/mm] = 0
[mm] x_5 [/mm] = 0 + 2 [mm] \lambda_1 [/mm] + 0 [mm] \lambda_2 [/mm] = 2 [mm] \lambda_1
[/mm]
*edit*
Wie bekomme ich die Parameter [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] weg?
>Ich nehme mal an, daß hier sowas gemeint ist:
>$ [mm] \{\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5} | [-Gleichungssystem.v.oben-]\}. [/mm] $
>Kann das sein?
>Oder Du sollst aus Deiner Parameterdarstellung die Parameter wieder >eliminieren und das Gleichungssystem hinschreiben. (?)
>> Weiters weiß ich nicht wie man dann zeigen kann dass es sich um denselben affinen raum handelt
>Du zeigst dafür, daß jeder Vektor, der in der einen Menge liegt, auch in der anderen ist.
Könntest du mir bitte ein Beispiel angeben - ich stehe hierbei etwas daneben....
*edit*
Aus einem Buch:
Seien $ [mm] B_1 [/mm] = [mm] p_1 [/mm] + [mm] U_1, \; B_2 [/mm] = [mm] p_2 [/mm] + [mm] U_2$ [/mm] affine Unterräume von $ A$ . Dann ist $ [mm] B_1 [/mm] = [mm] B_2$ [/mm] genau dann, wenn $ [mm] U_1 [/mm] = [mm] U_2$ [/mm] und $ [mm] \overrightarrow{p_1 p_2} \in U_1$ [/mm] .
D.h. ich müsste bei dem neuen parameterfreien LGS wieder die spezielle Lösung ausrechnen.
danach subtrahieren - damit ich den Vektor bekomme.
Meine Frage ist nun, wo setze ich den Vektor dann ein, um die Gleichheit festzustellen?
Im ersten Schritt habe ich ja die Basis bestimmt - mache ich es hiermit, wenn ja, wie :) ?
lg
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> Ich habe nun den wert für [mm]u_0[/mm] ermittelt - es handelt sich
> um die spezielle Lösung des LGS Ax = b (auch wieder mit
> Mathematica...) .
>
> Damit erhalte ich:
>
> B = [mm]\vektor{3/2 \\ -1/4 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda_1[/mm] *
> [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 2}[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]\vektor{-2 \\ -5 \\ 4 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Jetzt weiß ich, dass [mm]u_0[/mm] mein Anfangspunkt ist und die
> beiden anderen Vektoren die Richtung von B.
> Weiters ist B nun wirklich in Parameterform angegeben.
>
>
> Wenn ich das wieder als LGS angebe - also parameterfrei:
>
> [mm]x_1[/mm] = 3/2 + 0 [mm]\lambda_1[/mm] - 2 [mm]\lambda_2[/mm] = 3/2 - 2 [mm]\lambda_2[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = -1/4 - 1 [mm]\lambda_1[/mm] - 5 [mm]\lambda_2[/mm]
> [mm]x_3[/mm] = 0 + 0 [mm]\lambda_1[/mm] + 4 [mm]\lambda_2[/mm] = 4 [mm]\lambda_2[/mm]
> [mm]x_4[/mm] = 0 + 0 [mm]\lambda_1[/mm] + 0 [mm]\lambda_2[/mm] = 0
> [mm]x_5[/mm] = 0 + 2 [mm]\lambda_1[/mm] + 0 [mm]\lambda_2[/mm] = 2 [mm]\lambda_1[/mm]
>
> *edit*
> Wie bekomme ich die Parameter [mm]\lambda_1[/mm] und [mm]\lambda_2[/mm]
> weg?
Hallo,
eliminieren.
Eine Gleichung auflösen nach [mm] \lambda_1, [/mm] in die andern Gleichungen einsetzen, bleiben 4 Gleichngen mit [mm] \lambda_2.
[/mm]
Eine nach [mm] \lambda_2 [/mm] auflösen, einsetzen, bleiben drei Gleichungen ohne [mm] \lambda.
[/mm]
Jetzt sollst Du das GS wohl lösen und zeigen, daß die Lösungmengen gleich sind, obgleich sie möglicherweise in verschiedenem Gewand daherkommen. Jedenfalls verstehe ich das so.
Eine mögliche Vorgehensweise ist das, was Du gefunden hast.
> *edit*
> Aus einem Buch:
> Seien [mm]B_1 = p_1 + U_1, \; B_2 = p_2 + U_2[/mm] affine
> Unterräume von [mm]A[/mm] . Dann ist [mm]B_1 = B_2[/mm] genau dann, wenn [mm]U_1 = U_2[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{p_1 p_2} \in U_1[/mm] .
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Do 20.11.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo!
Erst einmal danke für deine Geduld :)
ich habe also folgende Gleichungen:
[mm] x_1 [/mm] = 3/2 - 2 [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = -1/4 - [mm] \lambda_1 [/mm] - 5 [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = 4 [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = 0
[mm] x_5 [/mm] = 2 [mm] \lambda_1
[/mm]
----------------------------
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] x_5 [/mm] / 2
[mm] x_1 [/mm] = 3/2 - 2 [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = -1/4 - [mm] x_5 [/mm] / 2 - 5 [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = 4 [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = 0
----------------------------
[mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] / 4
[mm] x_1 [/mm] = 3/2 - 2 [mm] x_3 [/mm] / 4
[mm] x_2 [/mm] = -1/4 - [mm] x_5 [/mm] / 2 - 5 [mm] x_3 [/mm] / 4
[mm] x_4 [/mm] = 0
-----------------------------------
-----------------------------------
Aneu = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5/4 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 }
[/mm]
*edit fehler*
5/4 [mm] x_3 [/mm] nicht [mm] 5/4x_4
[/mm]
bneu = [mm] \vektor{3/2 \\ -1/4 \\ 0}
[/mm]
daraus ergibt sich => [mm] p_2 [/mm] = [mm] \vektor{3/2 \\ -1/4 \\ 0 \\ 0 \\0}
[/mm]
(Spezielle Lösung mit Mathematica)
Dieser Vektor ist identisch mit dem ersten den ich für die spezielle Lösung ausgerechnet habe.
Nun brauche ich bitte eine helfende Hand bei der Argumentation:
[mm] \vektor{3/2 \\ -1/4 \\ 0 \\ 0 \\0} [/mm] - [mm] \vektor{3/2 \\ -1/4 \\ 0 \\ 0 \\0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\0}
[/mm]
der Nullvektor existiert in jedem Vektorraum.
Damit bin ich fertig und habe gezeigt, dass der neue affine Raum gleich wie der alte ist?
Nullspace[Aneu] ergibt
[mm] \vektor{0 \\ 1/2 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{-1/2 \\ -5/4 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Das bedeutet dass die Basen gleich sind - da es sich nur um Vielfache handelt.
lg
|
|
|
| |
|
> Hallo!
>
> Erst einmal danke für deine Geduld :)
>
>
> ich habe also folgende Gleichungen:
>
> [mm]x_1[/mm] = 3/2 - 2 [mm]\lambda_2[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = -1/4 - [mm]\lambda_1[/mm] - 5 [mm]\lambda_2[/mm]
> [mm]x_3[/mm] = 4 [mm]\lambda_2[/mm]
> [mm]x_4[/mm] = 0
> [mm]x_5[/mm] = 2 [mm]\lambda_1[/mm]
> ----------------------------
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]x_5[/mm] / 2
>
> [mm]x_1[/mm] = 3/2 - 2 [mm]\lambda_2[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = -1/4 - [mm]x_5[/mm] / 2 - 5 [mm]\lambda_2[/mm]
> [mm]x_3[/mm] = 4 [mm]\lambda_2[/mm]
> [mm]x_4[/mm] = 0
>
> ----------------------------
> [mm]\lambda_2[/mm] = [mm]x_3[/mm] / 4
>
> [mm]x_1[/mm] = 3/2 - 2 [mm]x_3[/mm] / 4
> [mm]x_2[/mm] = -1/4 - [mm]x_5[/mm] / 2 - 5 [mm]x_3[/mm] / 4
> [mm]x_4[/mm] = 0
> -----------------------------------
> -----------------------------------
>
> Aneu = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 5/4 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 }[/mm]
>
> bneu = [mm]\vektor{3/2 \\ -1/4 \\ 0}[/mm]
>
> daraus ergibt sich => [mm]p_2[/mm] = [mm]\vektor{3/2 \\ -1/4 \\ 0 \\ 0 \\0}[/mm]
>
> (Spezielle Lösung mit Mathematica)
>
> Dieser Vektor ist identisch mit dem ersten den ich für die
> spezielle Lösung ausgerechnet habe.
>
> Nun brauche ich bitte eine helfende Hand bei der
> Argumentation:
> [mm]\vektor{3/2 \\ -1/4 \\ 0 \\ 0 \\0}[/mm] - [mm]\vektor{3/2 \\ -1/4 \\ 0 \\ 0 \\0}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\0}[/mm]
>
> der Nullvektor existiert in jedem Vektorraum.
> Damit bin ich fertig und habe gezeigt, dass der neue
> affine Raum gleich wie der alte ist?
Hallo,
nein, Du mußt ja zeigen, daß die homogene Lösung auch übereinstimmt.
Ich hoffe, Du hast da andere Vektoren als zuvor, sonst ist's ja öde.
Gruß v. Angela
>
> lg
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Do 20.11.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo!
Habe dies ins letzte post von mir reineditiert.
Laut dem Satz muss ich ja [mm] U_1 [/mm] = [mm] U_2 [/mm] - was ja die homogene Lösung ist, und p1 - p0 [mm] \in U_1 [/mm] zeigen.
Beides hab ich gezeigt, wobei die Elemente von [mm] U_1 [/mm] Vielfache von [mm] U_2 [/mm] sind.
hoffe das passt so?
|
|
|
|
