Aitken's \Delta^2 Algorithmus < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:06 Mi 17.06.2009 | | Autor: | oby |
| Aufgabe | Aitken's [mm] \Delta^2 [/mm] Algorithmus:
Wir müssen hier allgemein
[mm] x_k [/mm] - [mm] x_{\star} [/mm] = C [mm] (x_{k-1} [/mm] - [mm] x_{\star} [/mm] )
mit Grenzwert [mm] x_{\star} [/mm] und C [mm] \in \IR^{2x2} [/mm] annehmen.
a) Definieren sie [mm] u_k=\Delta x_k [/mm] ; [mm] v_k =\Delta^2 x_k [/mm] sowie [mm] U_k=[u_0,u_1,...,u_{k-1}] [/mm] und [mm] V_k=[v_0,v_1,...,v_{k-1}] [/mm] ;
Nehmen Sie an, [mm] V_k [/mm] sei invertierbar und zeigen Sie damit:
[mm] x_{\star} [/mm] = [mm] x_0 [/mm] - [mm] U_nV_n^{-1}u_0 [/mm] (= [mm] x_0 [/mm] - [mm] \Delta X(\Delta^2X)^{-1}\Delta x_0 [/mm] )
Hinweis: Zeigen Sie zunächst [mm] (I-C)(x_{\star}-x_0) =u_0 [/mm] und drücken Sie dann [mm] (I-C)^{-1} [/mm] durch [mm] U_n [/mm] und [mm] V_n [/mm] aus.
b)Die beschleunigte Folge [mm] (\overline{x_k})_{k\in \IN} [/mm] berechnet man dann nach der Vorschrift (1) :
[mm] V_n [/mm] y = [mm] -u_0;
[/mm]
[mm] \overline{x_n} [/mm] = [mm] x_0 [/mm] - [mm] U_n [/mm] y ;
Die Berechnung von [mm] U_n [/mm] und [mm] V_n [/mm] benötigt n Auswertungen des Iterationsschrittes und ist damit in der Praxis nicht praktikabel. Außerdem sind die Differenzen bei Konvergenz sehr stark mit Auslöschung
behaftet. Man verwendet daher oft in (1) nur k < n Zwischenvektoren [mm] u_i, v_i [/mm] und betrachtet das Ergebnis als eine ausreichende Näherung für die nächste Iterierte.Welches Problem tritt dabei auf und in welchem
Sinne kann (1) gelöst werden?
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Hallo Matheraum.
Ich habe bereits den Hinweis befolgt und hab auch rausbekommen, dass
[mm] (I-C)(x_{\star}-x_0) =u_0 [/mm] gilt.
Aber nun soll man wohl C irgendwie durch U und V ausdrücken, was mir nicht gelungen ist. Hab erstmal probiert mit obiger Gleichung was umzuformen, da komme ich auf folgendes:
[mm] (I-C)^{-1} [/mm] = [mm] u_0^{-1}x_{\star}-u_0^{-1}x_0 [/mm] ,
Aber jetzt weiß ich da schonmal nicht woher auf einmal die ganzen anderen [mm] u_k [/mm] s kommen sollen. Deshalb hab ichs nochmal mit der Formel aus der ersten Zeile der Aufgabe probiert,hab die umgestellt,weiß dann aber auch nicht weiter.
Um mir das ganze klar zu machen, wollte ich mir ein einfaches Beispiel konstruieren. Wollte einfach mal das C ausrechnen wenn ich so ne Folge wie [mm] x_k [/mm] = [mm] 1/k*x_0 [/mm] habe. [mm] x_{\star} [/mm] wäre dann auf jeden Fall 0. Nur bekomme ich da ja leider keine feste Matrix raus, sondern eine Art Matrixfolge [mm] C_k [/mm] , also in Abhängigkeit von k .. Das kann ja irgendwie nicht sein und wollt deshalb mal hier fragen ob mir da jemand weiterhelfen kann und/oder mir sagen kann was für Fehler ich gemacht habe..
MfG, Oby
Edit: Hab eben noch den zweiten Teil der Aufgabe reingestellt, vielleicht hilft das ja auch irgendwas...?!?!
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(Frage) überfällig | | Datum: | 12:23 Mi 17.06.2009 | | Autor: | oby |
Hallo, hab inzwischen immerhin rausgefunden, dass nicht nur
[mm] (I-C)(x_{\star}-x_0) [/mm] = [mm] u_0 [/mm] gilt, sondern sogar:
[mm] (I-C)(x_{\star}-x_k) [/mm] = [mm] u_k \forall [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen, wie ich [mm] (I-C)^{-1} [/mm] mit U und V ausdrücken kann..
LG OBy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 19.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 19.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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