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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Di 09.06.2015 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Eine Firma möchte zur Sicherung ihres Produktionsgeländes eine Alarmanlage installieren lassen, die aus einem Sensor und einer Sirene bestehen soll. Die zuständige Technikerin rät,jeweils zwei Sensoren und zwei Sirenen einzubauen, da diese Komponenten nicht hundertprozentig
ausfallsicher sind. Sie schlägt folgende beiden Konfigurationen vor:
Konzept: https://www.dropbox.com/s/bph293th7qpw6p0/20150609_165525.jpg?dl=0
Die Konfigurationen $K1$ bzw. $K2$ sind funktionstüchtig, wenn zwischen den betreffenden Knotenpunkten eine Verbindung aus intakten Komponenten besteht.
Es sei vorausgesetzt, dass die vier Komponenten in jeder Konfiguration unabhängig voneinander
ausfallen. Die Ausfallwahrscheinlichkeit für die Sensoren betrage jeweils [mm] $q_1 \in [/mm] (0, 1)$ und die Ausfallwahrscheinlichkeit für die Sirenen jeweils [mm] $q_2 \in [/mm] (0, 1)$ (innerhalb eines festen
Zeitraums).
Welche der beiden Konfigurationen $K1,K2$ besitzt eine höhere Zuverlässigkeit, d.h. eine höhere Intaktwahrscheinlichkeit? Gilt dies für alle Werte $ [mm] q_1, q_2 \in [/mm] (0, 1)?$ |
ich hab leider null idee,wie ich sowas angehen soll,hab das nochnie gemacht und alle ansätze bis her waren nur müll
z.bsp
K1 besitzt eine geringer Zuverlässigkeit als K2 denn für den Sensor 1 gibst 2 Möglichkeiten und für Sensor 2 auch zwei Möglichkeiten, nämlich sirene 1 oder 2 zu aktivieren. Bei K1 kann sensor 1 nur sirene 1 aktivieren und sensor 2 sirene 2 aktivieren. Ich weis nicht ,ob das richtig gedacht ist und wie man das formal korrekt aufschreibt..:/
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
seien:
[mm] A_i [/mm] das Ereignis, dass Sensor i ausfällt
[mm] B_i [/mm] das Ereignis, dass Sirene i ausfällt
Stelle nun erstmal die beiden Ereignisse [mm] "K_1 [/mm] funktioniert nicht" und [mm] "K_2 [/mm] funktioniert nicht" mit Hilfe der [mm] A_i [/mm] und [mm] B_i [/mm] dar.
Dann machen wir uns an die Berechnung
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Di 09.06.2015 | | Autor: | nkln |
$ [mm] A_i [/mm] $ das Ereignis, dass Sensor $ i [mm] \in \{1,2\}$ [/mm] ausfällt
$ [mm] B_i [/mm] $ das Ereignis, dass Sirene $ i [mm] \in \{1,2\} [/mm] $ ausfällt
$K1$ funktioniert nicht $ := [mm] P(A_1)\cdot{}P(A_1|B_1)+P(A_2)\cdot{}P(A_2|B_2)$
[/mm]
$K2$ funktioniert nicht $ := [mm] P(A_1)\cdot{}P(A_1|B_1)\cdot{}P(A_1|B_2)+P(A_2)\cdot{}P(A_2|B_2)\cdot{}P(A_2|B_1)$
[/mm]
ich hab das hier mal als baum gezeichnet weis nicht wie man das abprogrammiert
https://www.dropbox.com/s/hedpdvethgde5mw/IMG-20150609-WA0032.jpeg?dl=0
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Hiho,
warum gehst du jetzt mit bedingten Wahrscheinlichkeiten an das Problem heran?
Kannst du das begründen?
So nebenbei: An Wahrscheinlichkeiten waren wir noch gar nicht interessiert, erstmal nur den den Darstellungen mit Hilfe der [mm] A_i [/mm] und [mm] B_i
[/mm]
Bekommst du das hin?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Mi 10.06.2015 | | Autor: | nkln |
"warum gehst du jetzt mit bedingten Wahrscheinlichkeiten an das Problem heran?
Kannst du das begründen? "
war irgendwie intuitive ,keine ahnugn warum ,sorry :( !
ich kanns irgendwie nur in worten beschreiben
$K1$ funktioniert nicht wenn [mm] $A_1$ [/mm] oder [mm] $A_2$ [/mm] ausfällt oder wenn [mm] $B_1$ [/mm] oder [mm] $B_2$ [/mm] ausfallen
bei $ K2$ wenn [mm] $A_1$ [/mm] oder [mm] $A_2$ [/mm] ausfällt oder [mm] $B_1$ [/mm] und [mm] $B_2 [/mm] $.
ich hab null ahnung,das macht mich so wütend auf mich selber! :/
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Hiho,
> ich kanns irgendwie nur in worten beschreiben
>
> [mm]K1[/mm] funktioniert nicht wenn [mm]A_1[/mm] oder [mm]A_2[/mm] ausfällt oder wenn
> [mm]B_1[/mm] oder [mm]B_2[/mm] ausfallen
4x oder
Ist dir die mathematische Bezeichnung von "oder" klar?
Du musst das klarer und deutlicher ausdrücken.
Ein Beispiel: [mm] K_1 [/mm] funktioniert beispielsweise nicht, wenn [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] ausfallen.
Aber auch, wenn [mm] A_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] ausfallen.
D.h. schonmal: [mm] K_1 [/mm] funktioniert nicht, wenn [mm] (A_1 [/mm] und [mm] A_2) [/mm] ODER ( [mm] A_1 [/mm] und [mm] B_2) [/mm] ausfallen.
Jetzt überlege dir mal, bei welchen Fällen [mm] K_1 [/mm] noch nicht funktioniert und überlegst dir, welche Mengenoperation für "oder" und welche für "und" steht.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mi 10.06.2015 | | Autor: | nkln |
Jupp ich glaube es ist so
K1 funktioniert nicht $ := (A1 [mm] \cap [/mm] A2) [mm] \cup [/mm] (A1 [mm] \cap B1)\cup [/mm] (A2 [mm] \cap B2)\cup [/mm] (B1 [mm] \cap [/mm] B2)$
K2 funktioniert nicht $ := (A1 [mm] \cap [/mm] A2) [mm] \cup [/mm] (A1 [mm] \cap B1)\cup [/mm] (A2 [mm] \cap B2)\cup [/mm] (B1 [mm] \cap [/mm] B2) [mm] \cup [/mm] (A1 [mm] \cap B2)\cup [/mm] (A2 [mm] \cap [/mm] B1) $
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Hiho,
[mm] K_1 [/mm] ist in Ordnung.
Aber wieso sollte [mm] K_2 [/mm] bei [mm] $A_1 \cap B_2$ [/mm] nicht mehr funktionieren?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mi 10.06.2015 | | Autor: | nkln |
Dann
K2 funktioniert nicht $ := (A1 [mm] \cap [/mm] A2) [mm] \cup [/mm] (B1 [mm] \cap [/mm] B2) [mm] \cup [/mm] (A1 [mm] \cap B2\cap B1)\cup [/mm] (A2 [mm] \cap B1\cap [/mm] B2) $ da ja wenn eine sirene nicht funktioniert die andere genommen werden kann.wie gehts jetzt writer?
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Hiho,
> Dann
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> K2 funktioniert nicht [mm] := (A1 \cap A2) \cup (B1 \cap B2) \cup (A1 \cap B2\cap B1)\cup (A2 \cap B1\cap B2)[/mm]
> da ja wenn eine sirene nicht funktioniert die andere
> genommen werden kann.wie gehts jetzt writer?
auch hier hast du nicht vollständig zu Ende gedacht.
Obiges ist zwar nicht falsch, aber einiges unnötig:
Bedenke:
$(A1 [mm] \cap B2\cap [/mm] B1) [mm] \subseteq [/mm] (B1 [mm] \cap [/mm] B2)$
Damit ist: $(B1 [mm] \cap [/mm] B2) [mm] \cup [/mm] (A1 [mm] \cap B2\cap [/mm] B1) = B1 [mm] \cap [/mm] B2$
Und schon vereinfacht sich die ganze Sache zu:
K2 funktioniert nicht $= (A1 [mm] \cap [/mm] A2) [mm] \cup [/mm] (B1 [mm] \cap [/mm] B2) $
Analog kann man beim ersten Vereinfachen:
K1 funktioniert nicht $= (A1 [mm] \cap [/mm] A2) [mm] \cup [/mm] (A1 [mm] \cap B1)\cup [/mm] (A2 [mm] \cap B2)\cup [/mm] (B1 [mm] \cap [/mm] B2) = [mm] \left(A1 \cap (A2 \cup B1)\right) \cup \left((A2 \cup B1) \cap B2\right) [/mm] = (A1 [mm] \cup [/mm] B2) [mm] \cap [/mm] (A2 [mm] \cup [/mm] B1) $
Und du willst nun die Wahrscheinlichkeit davon ausrechnen.
Verwende dafür: $P(X [mm] \cup [/mm] Y) = P(X) + P(Y) - [mm] P(X\cap [/mm] Y)$ und die Unabhängigkeit der vier Ereignisse.
Die letzte Frage kannst du dir beantworten, wenn du dir die erste Umformung zu K1 nochmal anschaust und erkennst:
K1 funktionier nicht $= (A1 [mm] \cap [/mm] A2) [mm] \cup [/mm] (A1 [mm] \cap B1)\cup [/mm] (A2 [mm] \cap B2)\cup [/mm] (B1 [mm] \cap [/mm] B2) = (A1 [mm] \cap [/mm] A2) [mm] \cup [/mm] (B1 [mm] \cap [/mm] B2) [mm] \cup [/mm] (A1 [mm] \cap [/mm] B1) [mm] \cup [/mm] (A2 [mm] \cap [/mm] B2)$
= "K2 funktioniert nicht" [mm] $\cup \; [/mm] (A1 [mm] \cap [/mm] B1) [mm] \cup [/mm] (A2 [mm] \cap [/mm] B2) $
Was bedeutet das dann für die WKeit von "K1 funktioniert nicht"?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mi 10.06.2015 | | Autor: | nkln |
K2 funktion nicht $ = (A1 [mm] \cap [/mm] A2) [mm] \cup [/mm] (B1 [mm] \cap [/mm] B2) $
$ P(K2)= P(A1 [mm] \cap [/mm] A2)+P(B1 [mm] \cap [/mm] B2)- P((A1 [mm] \cap [/mm] A2) [mm] \cap [/mm] (B1 [mm] \cap [/mm] B2) )=P(A1) [mm] \cdot{}P(A2)+P(B1) \cdot{}P(B2) [/mm] - P((A1 [mm] \cap A2))\cdot{}P((B1 \cap [/mm] B2))=P(A1) [mm] \cdot{}P(A2)+P(B1) \cdot{}P(B2) [/mm] - P(A1 [mm] )\codt{}P(A2)\cdot{}P(B1)\cdot{}P( [/mm] B2)= [mm] q_1^2+q_2^2-q_1^2\cdot{}q_2^2 [/mm] $
$P(K1)=P((A1 [mm] \cup [/mm] B2) [mm] \cap [/mm] (A2 [mm] \cup [/mm] B1))= P(A1 [mm] \cup [/mm] B2) [mm] \codt{}P(A2 \cup [/mm] B1)= [mm] (P(A1)+P(B2)-P(A1)\codt{}P(B2))\codt{}(P(A2)+P(B1)-P(A2)\codt{}P(B1))=(q_1+q_2-q_1\cdot{}q_2)\codt{}(q_1+q_2-q_1\cdot{}q_2) [/mm] $
ist das so richtig?
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Hiho,
sieht gut aus.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Do 11.06.2015 | | Autor: | nkln |
Und jetzt was mache ich jetzt?
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Hiho,
> Und jetzt was mache ich jetzt?
die letzte noch offene Frage mit meinem Hinweis dazu beantworten.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Do 11.06.2015 | | Autor: | nkln |
Ich komm einfach nicht auf die antwort der letzten frage. .:/
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Hiho,
du hast eine Menge A und eine Menge B, für die du weißt, dass sie die Form $B = A [mm] \cup [/mm] X$ hat für irgendeine Menge X, in welchem Verhältnis stehen dann P(A) und P(B)?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Do 11.06.2015 | | Autor: | nkln |
haha ich idiot
die wahrscheinlich $P(A) [mm] \le [/mm] P(B)$ , da ja $P(A)$ nur mit einer Menge $X$ vereinigt $P(B)$ ergibt
also ist die Wkeit $P(B)$ größer als $P(A)$ in meinem Fall ist $P(K1) [mm] \ge [/mm] P(K2)$
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