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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Mo 09.05.2005 | | Autor: | TimBuktu |
Hallo. Ich habe mit dieser Aufgabe noch Probleme. Mir ist klar, was ein topologischer Raum ist, habe aber den Begriff "kompakt" noch nicht besonders verstanden und wäre über Hilfe sehr dankbar. Hier die Aufgabe.
Sei [mm](X,\tau)[/mm] ein topologischer Raum und [mm]p[/mm] ein Punkt [mm]p \not\in X[/mm]. Sei [mm]Y:=X\cup\{p\}[/mm] und [mm]\tau':=\{U\in P(Y): U \mbox{ enthält }p\mbox{ nicht und } U\in\tau \mbox{ oder }U\mbox{ enthaelt }p\mbox{ und }Y \setminus U\mbox{ ist kompakte Teilmenge von } X\}[/mm]
Zu Zeigen ist, dass [mm] \tau' [/mm] eine Topologie für Y ist, und dass [mm] (Y,\tau') [/mm] kompakt ist.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Du kannst ja mal selber versuchen zu zeigen, dass es sich um eine Topologie handelt. Melde dich bitte wieder mit einem eigenen Lösungsvorschlag, eigenen Ideen und/oder konkreten Fragen.
Zur Kompaktheit: Zu zeigen ist, dass jede Überdeckung [mm] $(U_i)_{i \in \I}$ [/mm] von $Y$ mit offenenen Mengen eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Es gibt ein [mm] $i_0 \in [/mm] I$ mit $p [mm] \in U_{i_0}$. [/mm] Dann ist $Y [mm] \setminus U_{i_0}$ [/mm] in $X$ kompakt und wird von den in $X$ offenen Mengen [mm] $(U_i)_{i \in I, i \ne i_0}$ [/mm] überdeckt. Es gibt somit endlich viele [mm] $i_1,\ldots,i_n$ [/mm] mit
$Y [mm] \setminus U_{i_0} \subset U_{i_1} \cup U_{i_2} \cup \ldots \cup U_{i_n}$,
[/mm]
und daher:
$Y = [mm] \bigcup\limits_{k=0}^n U_{i_k}$,
[/mm]
womit die Behauptung folgt: $Y$ ist kompakt.
Viele Grüße
Julius
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