Algebraische Axiome < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:12 So 21.10.2012 | | Autor: | Paivren |
Hallo Leute,
bräuchte mal ein paar kleine Erläuterungen zu Notizen unseres Profs. Und zwar hat er die algebraischen Axiome angeschrieben, sowie viele kleine Regeln, die aus ihnen folgen. Jene Regeln hat er meist kurz mit den Axiomen oder anderen Regeln bewiesen, wobei mir ab und an etwas nicht einleuchtet.
(x) bezeichnet jeweilige Unterregel
"(3) Ist x<0 und y<0, so ist xy>0
Beweis:
x<0 und y<0 bedeutet -x>0 und -y>0.
Also xy=(-x)(-y) > 0 "
Unter dem ersten = steht der Verweis auf die algebraischen Axiome, aber das verstehe ich nicht. Wo geht aus denen denn hervor, dass xy=(-x)(-y)?
"(5) Ist x<y und y<z, so ist x<z
Beweis: x<y und y<z bedeutet y-x>0 und z-y>0
Mit Verweis auf Anordnungsaxiome heißt das (y-x)+(z-y)>0
Nach den algebraischen Axiomen ist z-x=(y-x)+(z-y)
Also z-x>0, dh. x<z"
Vorletzte Zeile versteh ich nicht, wo geht aus den Axiomen hervor, dass z-x=(y-x)+(z-y)?
"(6)Ist x>y und z>0, so ist xz>yz [...]
(7) Ist x<0 und z>0, so ist xz<0.
Beweis: Spezialfall von (6)"
Versteh ich nicht, wo ist da der Zusammenhang?
Ich weiß nicht, in wie weit man später noch mit sowas zu tun hat, deshalb hab ich keine Ahnung, wie relevant es ist, dass ich mir die Sachen ganz klar machen will und ob mir hier wer helfen kann...
Schönes Rest-Wochenende allen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:52 So 21.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Leute,
>
> bräuchte mal ein paar kleine Erläuterungen zu Notizen
> unseres Profs. Und zwar hat er die algebraischen Axiome
> angeschrieben, sowie viele kleine Regeln, die aus ihnen
> folgen. Jene Regeln hat er meist kurz mit den Axiomen oder
> anderen Regeln bewiesen, wobei mir ab und an etwas nicht
> einleuchtet.
>
> (x) bezeichnet jeweilige Unterregel
>
> "(3) Ist x<0 und y<0, so ist xy>0
> Beweis:
> x<0 und y<0 bedeutet -x>0 und -y>0.
> Also xy=(-x)(-y) > 0 "
> Unter dem ersten = steht der Verweis auf die algebraischen
> Axiome, aber das verstehe ich nicht. Wo geht aus denen denn
> hervor, dass xy=(-x)(-y)?
auf was hat er denn verwiesen? Ich mach's nun so und verweise auf
das ![[]](/images/popup.gif) Skript hier.
Es gilt [mm] $-x=(-1_K)*x$ [/mm] (die [mm] $1_K$ [/mm] ist das neutrale Element bzgl. der
Multiplikation im Körper [mm] $K\,.$). [/mm] Das kannst Du beweisen, wenn Du magst,
Daher folgt [mm] $(-x)*(-y)=-1_K*x*(-1_K*y)=(-1_K*(-1_K))*x*y$ [/mm] wegen der
Kommutativität der Multiplikation. (Ich habe eigentlich auch die
Assoziativität verwendet - ich hätte auch am Ende nur [mm] $-1_K*1_K*x*y$ [/mm]
schreiben können...)
Rechne nun nach, dass [mm] $-1_K+(-1_K*(-1_K))=0_K$ [/mm] ergibt. Weil additiv
Inverse eindeutig bestimmt sind (Bemerkung 2.2), folgt [mm] $1_K=-1_K*(-1_K)\,.$
[/mm]
Damit insgesamt (wegen Definition 2.1 (K.4 und K.1))
[mm] $$(-x)*(-y)=1_K*(x*y)=x*y\,.$$
[/mm]
Also gilt in jedem Körper (mit den entsprechenden Bezeichnungen) die
Regel, die wir aus der Schule kennen "Minus mal Minus macht Plus!"
> "(5) Ist x<y und y<z, so ist x<z
> Beweis: x<y und y<z bedeutet y-x>0 und z-y>0
> Mit Verweis auf Anordnungsaxiome heißt das (y-x)+(z-y)>0
> Nach den algebraischen Axiomen ist z-x=(y-x)+(z-y)
> Also z-x>0, dh. x<z"
> Vorletzte Zeile versteh ich nicht, wo geht aus den Axiomen
> hervor, dass z-x=(y-x)+(z-y)?
Also [mm] $z-x\,$ [/mm] bedeutet ja "strenggenommen" [mm] $z+(-x)\,,$ [/mm] siehe im Skript
bei den Definitionen 2.1 den kleinen Text direkt danach - noch zur Definition
gehörend.
Also steht oben
[mm] $$z-x=z+(-x)\stackrel{!}{=}(y+(-x))+(z+(-y))=(y-x)+(z-y)\,.$$
[/mm]
Die Gleichheit, die laut Behauptung gelten soll (mit Ausrufezeichen
versehen!) ist also nur zu zeigen:
[mm] $$z+(-x)=(y+(-x))+(z+(-y))\,.$$
[/mm]
Benutze nun die Assoziativität und Kommutativität der Addition, und, dass
[mm] $-y\,$ [/mm] das (! - denn die Eindeutigkeit der Inversen steht ja auch im Skript!)
additiv Inverse zu [mm] $y\,$ [/mm] ist: Es gilt also [mm] $y+(-y)=-y+y=0_K\,.$
[/mm]
> "(6)Ist x>y und z>0, so ist xz>yz [...]
> (7) Ist x<0 und z>0, so ist xz<0.
> Beweis: Spezialfall von (6)"
> Versteh ich nicht, wo ist da der Zusammenhang?
Beweis zu (7):
Aus $x<0$ folgt $-x > [mm] 0\,.$ [/mm] Wegen (6) gilt $(-x)*z > [mm] 0=0_K\,.$ [/mm] Wegen [mm] $-x=-1_K*x$
[/mm]
folgt [mm] $-1_K*(x*z)=-(x*z) >0_K\,.$ [/mm] Addiert man [mm] $x*z\,$ [/mm] beidseitig (von
rechts! - dass man es linkerhand auch von links und rechterhand von
rechts machen dürfte, ginge auch - wegen der Komm. der Add.), so folgt
$$-(x*z)+(x*z) > [mm] 0_K+(x*z)=x*z$$
[/mm]
nach Definition 3.1 (O.3) und Definition 2.1 (K.3 und K.1). Linkerhand ist aber
[mm] $-x*z\,$ [/mm] das additiv Inverse zu [mm] $x*z\,,$ [/mm] also folgt
[mm] $$0_K [/mm] > [mm] x*z\,.$$
[/mm]
> Ich weiß nicht, in wie weit man später noch mit sowas zu
> tun hat, deshalb hab ich keine Ahnung, wie relevant es ist,
> dass ich mir die Sachen ganz klar machen will und ob mir
> hier wer helfen kann...
Das ist alles relevant, wenn man in (geordneten) Körpern rechnet. Aber
prinzipiell kannst Du Dir mal folgendes klarmachen:
Nimm' die ganzen Axiome, und bedenke, dass [mm] $(\IR,+,\cdot)$ [/mm] bzw. [mm] $(\IR,+,\cdot,<)\,$ [/mm] ein
(vollständiger) Körper bzw. (vollständig) geordneter Körper ist. Mach' Dir
die Beweise am besten mal an Zahlenbeispielen klar. Aber mach' Dir immer
klar, dass Du bei den "allgemeinen Beweisen" jeden Schritt mit einem der
Körperaxiome beweisen musst, oder mit Sätzen, die daraus folgen und
schon bewiesen worden sind.
Beispiel:
In [mm] $\IR$ [/mm] gilt $(-3)*(-7) > [mm] 0\,.$ [/mm] Denn:
[mm] $$(-3)*(-7)=((-1)*3)*((-1)*7)=(-1)*(-1)*3*7\,.$$
[/mm]
Nun ist $3*7 > [mm] 0\,.$ [/mm] Wenn wir jetzt noch wissen, dass $(-1)*(-1) > [mm] 0\,$ [/mm]
ist, sind wir glücklich. (Und zwar wegen Definition 3.1 (O.4) in Verbindung
mit Satz 2.4, 1.)). In [mm] $\IR$ [/mm] "wissen" wir: [mm] $(-1)*(-1)=1\,.$
[/mm]
Es ist dann naheliegend, sich zu fragen: "Läßt sich das auch allgemein
auf geordnete Körper übertragen?" Ja, denn mehr habe ich oben ja
eigentlich nicht gemacht. Was man oben vielleicht noch ergänzen kann:
In jedem geordneten Körper gilt, dass aus [mm] $0_K [/mm] < x$ und [mm] $0_K [/mm] < y$ folgt
[mm] $$0_K*0_K=0_K [/mm] < [mm] x*y\,.$$
[/mm]
Die linke Gleichheit folgt wegen Satz 2.4, und damit dann die behauptete
Ungleichung, weil wir Definition 3.1 (O.4) angewendet haben.
Was so aber noch zu klären bliebe, ist die Frage, die ich oben geklärt habe:
Gilt - oder warum gilt - in jedem geordneten Körper denn auch [mm] $-1_K*(-1_K)=1_K$? [/mm]
(Dass und warum das stets gilt, bzw. wie man das beweisen kann, steht
oben!)
> Schönes Rest-Wochenende allen!
Dir auch, Danke!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 So 21.10.2012 | | Autor: | Paivren |
Hallo du, erstmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort!
Mit ein wenig Hirnarbeit habe ich die letzten beiden Beweise der Unterregeln verstanden.
Beim ersten Beweis will mir aber immer noch eine Sache nicht einleuchten:
"$ [mm] (-x)\cdot{}(-y)=-1_K\cdot{}x\cdot{}(-1_K\cdot{}y)=(-1_K\cdot{}(-1_K))\cdot{}x\cdot{}y [/mm] $
[bis hierhin ist alles klar]
Rechne nun nach, dass $ [mm] -1_K+(-1_K\cdot{}(-1_K))=0_K [/mm] $ ergibt."
Warum soll ich das denn machen? Das ergibt doch nur Null, wenn wir bereits davon ausgehen, dass [mm] -1\*(-1) [/mm] = 1 ist, und das wäre doch nicht legitim, da wir doch nichts beweisen können, indem wir das zu Beweisende bereits voraussetzen, oder?
Ich weiß wegen der einen Bemerkung, dass das Inverse additive Element eindeutig ist, also das -1+1=0 ist.
Aber warum kannst du jetzt [mm] 1=-1\*(-1) [/mm] schreiben?
Da steh ich noch ein bissl auf dem Schlauch!
Gruß
Paivren
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 So 21.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Paivren,
> Rechne nun nach, dass [mm]-1_K+(-1_K\cdot{}(-1_K))=0_K[/mm]
> ergibt."
>
> Warum soll ich das denn machen? Das ergibt doch nur Null,
> wenn wir bereits davon ausgehen, dass [mm]-1\*(-1)[/mm] = 1 ist, und
> das wäre doch nicht legitim, da wir doch nichts beweisen
> können, indem wir das zu Beweisende bereits voraussetzen,
> oder?
Es gilt eben, die Gleichung [mm] $-1_K+(-1_K\cdot{}(-1_K))=0_K$ [/mm] zu beweisen, ohne bereits [mm] $-1_K\cdot(-1_K)=1_K$ [/mm] vorauszusetzen.
Dazu bedarf es eines Tricks. Es gilt:
[mm] $-1_K+(-1_K\cdot{}(-1_K))=(1_K\cdot(-1_K))+(-1_K\cdot{}(-1_K))=(1_K+(-1_K))\cdot(-1_K)=0_K\cdot(-1_K)=0_K$.
[/mm]
Die letzte Gleichheit folgt aus [mm] $0_K\cdot a=0_K$ [/mm] für alle [mm] $a\in [/mm] K$. Falls ihr auch diese Rechenregel noch nicht hattet, muss sie natürlich vorher bewiesen werden:
Zunächst prüft man dazu
[mm] $0_K\cdot a+0_K\cdot a=0_K\cdot [/mm] a$
nach. Durch Addition von [mm] $-(0_K\cdot [/mm] a)$ auf beiden Seiten erhält man (mit ein paar Zwischenschritten) die behauptete Gleichung.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 So 21.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Tobi hat ja eigentlich das meiste gesagt, ich will's aber dennoch mal
hervorheben:
> Hallo du, erstmal vielen Dank für deine ausführliche
> Antwort!
>
> Mit ein wenig Hirnarbeit habe ich die letzten beiden
> Beweise der Unterregeln verstanden.
>
> Beim ersten Beweis will mir aber immer noch eine Sache
> nicht einleuchten:
>
> "[mm] (-x)\cdot{}(-y)=-1_K\cdot{}x\cdot{}(-1_K\cdot{}y)=(-1_K\cdot{}(-1_K))\cdot{}x\cdot{}y[/mm]
>
> [bis hierhin ist alles klar]
>
> Rechne nun nach, dass [mm]-1_K+(-1_K\cdot{}(-1_K))=0_K[/mm]
> ergibt."
>
> Warum soll ich das denn machen? Das ergibt doch nur Null,
> wenn wir bereits davon ausgehen, dass [mm]-1\*(-1)[/mm] = 1 ist, und
> das wäre doch nicht legitim, da wir doch nichts beweisen
> können, indem wir das zu Beweisende bereits voraussetzen,
> oder?
nein, das ergibt es eben nicht NUR, wenn wir davon ausgehen, dass
[mm] $-1*(-1)=1\,$ [/mm] ist. (Hier musst Du auch weg von [mm] $\IR\,,$ [/mm] wo Du glaubst,
zu wissen, dass [mm] $-1*(-1)=1\,$ [/mm] ergibt!)
Ich habe Dir geschrieben, wie Du das nachrechnen kannst:
Die [mm] $1_K \in [/mm] K$ hat das additiv Inverse [mm] $-1_K \in K\,.$ [/mm] Es gilt also
[mm] $$(\*)\;\;\;1_K+(-1_K)=-1_K+1_K=0\,.$$
[/mm]
Daraus kann man auch direkt ablesen, dass das additiv Inverse zu
[mm] $-1_K \in [/mm] K$ nichts anderes ist als [mm] $1_K \in K\,,$ [/mm] wenn man die
Eindeutigkeit additiv Inverser bereits bewiesen hat.
Denn:
Das additiv Inverse zu [mm] $-1_K$ [/mm] wäre erstmal rein symbolisch nichts anderes
als [mm] $-(-1_K)\,.$ [/mm] Damit gilt
[mm] $$-(-1_K)+(-1_K)=-1_K+(-(-1_K))=0\,.$$
[/mm]
Vergleicht man das mit [mm] $(\*)\,,$ [/mm] so sieht man, dass sowohl [mm] $1_K$ [/mm] als auch
[mm] $-(-1_K)$ [/mm] additiv invers zu [mm] $-1_K$ [/mm] sind: Es folgt also [mm] $1_K=-(-1_K)\,,$ [/mm] weil
additiv Inverse eindeutig bestimmt sind.
Und Tobi hat eben alleine mit den Körperaxiomen nachgerechnet, dass
mit denen schon folgt [mm] $-1_K+(-1_K)*(-1_K)=0_K\,.$
[/mm]
Insgesamt sehen wir [mm] $1_K=-(-1_K)=(-1_K)*(-1_K)\,.$ [/mm] In [mm] $\IR$ [/mm] würden wir
über diese "triviale Gleichungskette" gar nicht drüber nachdenken, sondern
sie einfach als klar hinnehmen (und später im Studium wirst Du auch eher
selten über "Grundlegendes" bzgl. (geordneter) Körper nachdenken,
sondern es mehr oder weniger einfach aus Gewohnheit benutzen. Der Sinn
solcher Aufgaben hier besteht eigentlich darin: Wie kann man ein
Fundament eigentlich erstellen, möglichst "knapp", mit dem sich viele der
Rechenregeln, die wir einfach benutzen, aus Axiomen folgern lassen.
Welche Axiome implizieren welche Regeln, und wo muss man vermutlich
das Axiomensystem "erweitern", wenn man 'mehr' haben will/braucht.
Ein bekanntest Beispiel: Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ,
und auch nicht alle Matrizen haben multiplikative Inverse... welche
"Rechenregeln" kann man dennoch allgemein anwenden. Gibt's eine
Menge gewisser Matrizen, wo "mehr" gilt? Was/wie darf man da alles
für Rechenregeln benutzen/rechnen...)
P.S.:
[mm] $\bullet$ $1_K$ [/mm] ist das neutrale Element bzgl. der Mult. in [mm] $K\,$
[/mm]
[mm] $\bullet$ $-1_K$ [/mm] ist das additiv inverse Element zu [mm] $1_K\,$
[/mm]
[mm] $\bullet$ $-(-1_K)$ [/mm] ist das additiv inverse Element zu [mm] $-1_K\,$
[/mm]
[mm] $\bullet$ $(-1_K)*(-1_K)$ [/mm] ist das Produkt von [mm] $-1_K\,$ [/mm] mit sich selbst
Die Aussage [mm] $1_K=-(-1_K)$ [/mm] besagt also, dass [mm] $1_K$ [/mm] das additiv Inverse
zu [mm] $-(1_K)$ [/mm] ist. Die Aussage [mm] $(-1_K)*(-1_K)=1_K$ [/mm] besagt, dass, wenn
man das additiv Inverse von [mm] $1_K$ [/mm] mit sich selbst multipliziert, man die
[mm] $1_K \in [/mm] K$ erhält. In dem Sinne ist die Gleichungskette
[mm] $$1_K=-(-1_K)=(-1_K)*(-1_K)$$
[/mm]
etwa zu lesen - wobei darin natürlich auch die Aussage
"Wenn man das additiv Inverse [mm] $-1_K$ [/mm] von [mm] $1_K$ [/mm] mit sich selbst
multipliziert, erhält man das additiv Inverse zu [mm] $-1_K$"
[/mm]
enthalten ist!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 So 21.10.2012 | | Autor: | Paivren |
Zwei klasse, verständliche Beiträge, die mir beide einleuchtend waren.
Ich bedanke mich bei euch und wünsche einen guten Start in die woche!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 So 21.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Zwei klasse, verständliche Beiträge, die mir beide
> einleuchtend waren.
>
> Ich bedanke mich bei euch
gern geschehen!
> und wünsche einen guten Start in
> die woche!
Dir auch, Danke! 
Gruß,
Marcel
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