Algebraischer Abschluss < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:12 Di 13.07.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und [mm] \overline{K} [/mm] sei sein algebraischer Abschluss.
Zeigen Sie: Ist K höchstens abzählbar, so ist auch [mm] \overline{K} [/mm] höchstens abzählbar. |
Heyho!
Also es jedes Element von [mm] \overline{K} [/mm] ist natürlich algebraisch über K, also ist es ne Nullstelle von nem Polynom in K[X], beziehungsweise von nem irreduziblen.
Nun muss man doch irgendwie zeigen können, dass die Menge der Nullstellen von irreduziblen Polynomen auch nur abzählbar is...
Aber wie stell ich dat an? Ne Bijektion von den natürlichen Zahlen aus konkret anzugeben dürfte nich klappen? Andersherum bzw. eine Injektion in [mm] \IN [/mm] wohl auch nicht...
Irgendwie ises ja klar, dass dat abzählbar is, aber dat formal zu beweisen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:17 Di 13.07.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei K ein Körper und [mm]\overline{K}[/mm] sei sein
> algebraischer Abschluss.
>
> Zeigen Sie: Ist K höchstens abzählbar, so ist auch
> [mm]\overline{K}[/mm] höchstens abzählbar.
>
> Also es jedes Element von [mm]\overline{K}[/mm] ist natürlich
> algebraisch über K, also ist es ne Nullstelle von nem
> Polynom in K[X], beziehungsweise von nem irreduziblen.
Genau, das ist der wichtige Ansatz.
> Nun muss man doch irgendwie zeigen können, dass die Menge
> der Nullstellen von irreduziblen Polynomen auch nur
> abzählbar is...
Zeige: die Menge der Polynome ist abzaehlbar.
Folgere daraus: die Menge der Elemente, die Nullstelle von irgendeinem Polynom ist, ist abzaehlbar.
> Aber wie stell ich dat an? Ne Bijektion von den
> natürlichen Zahlen aus konkret anzugeben dürfte nich
> klappen?
Nein. (Eine Surjektion reicht uebrigens voellig aus.)
> Irgendwie ises ja klar, dass dat abzählbar is, aber dat
> formal zu beweisen???
Benutze folgende Statements:
* Ist $A$ eine abzaehlbare Menge, so auch [mm] $A^n [/mm] = A [mm] \times \dots \times [/mm] A$ ($n$-mal).
* Sind [mm] $A_1, A_2, \dots$ [/mm] abzaehlbare Mengen, so auch [mm] $\bigcup_{i=1}^\infty A_i$.
[/mm]
* Ein Polynom von Grad $n$ hat hoechstens $n$ verschiedene Nullstellen.
LG Felix
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