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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Do 28.04.2011 | | Autor: | Carlo |
| Aufgabe | Mit dem Gauß'schen-Algorithmus ist folgende Aufgabe zu lösen:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 4 } \pmat{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ -4 \\ 4 \\ 0 \\ 0 } [/mm] |
Ich habe eliminiert und es kam folgendes zustande:
1 1 1 1 0
1 2 3 4 -4
0 -3 -6 -9 0
0 0 -4 4 -5
0 0 0 12 -9
Ich habe für [mm] x_1 [/mm] = -5, [mm] x_2= \bruch{5}{4}, x_3= \bruch{1}{2}, x_4= -\bruch{3}{4}
[/mm]
Aber die Ergebnisse können nicht stimmen, als Probe habe ich die Lösungen in die 1. Zeile des Gleichungssystems eingesetzt und es kam nicht 0 raus. :S
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Carlo,
> Mit dem Gauß'schen-Algorithmus ist folgende Aufgabe zu
> lösen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 4 } \pmat{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 \\ -4 \\ 4 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> Ich habe eliminiert und
> es kam folgendes zustande:
>
> 1 1 1 1 0
> 1 2 3 4 -4
> 0 -3 -6 -9 0
> 0 0 -4 4 -5
> 0 0 0 12 -9
>
>
> Ich habe für [mm]x_1[/mm] = -5, [mm]x_2= \bruch{5}{4}, x_3= \bruch{1}{2}, x_4= -\bruch{3}{4}[/mm]
>
> Aber die Ergebnisse können nicht stimmen, als Probe habe
> ich die Lösungen in die 1. Zeile des Gleichungssystems
> eingesetzt und es kam nicht 0 raus. :S
>
Dann poste Deine Zwischenschritte, wie Du zu diesem Ergebnis kommst.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Do 28.04.2011 | | Autor: | Carlo |
1 1 1 1 0
1 2 3 4 -4
4 3 2 1 4 |-4
4 1 2 3 0 |-4
3 2 1 4 0 |-3
1 1 1 1 0
1 2 3 4 -4
0 -1 -2 -3 0 | *3
0 -3 -2 -1 -4
0 -1 -2 1 -3 | *3
1 1 1 1 0
1 2 3 4 -4
0 -3 -6 -9 0
0 -3 -2 -1 -4 | 5. - 4.
0 -3 -6 3 -9 | 5. - 3.
1 1 1 1 0
1 2 3 4 -4
0 -3 -6 -9 0
0 0 -4 4 -5
0 0 0 12 -9
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Hallo Carlo,
> 1 1 1 1 0
> 1 2 3 4 -4
> 4 3 2 1 4 |-4
> 4 1 2 3 0 |-4
> 3 2 1 4 0 |-3
>
>
>
> 1 1 1 1 0
> 1 2 3 4 -4
> 0 -1 -2 -3 0 | *3
> 0 -3 -2 -1 -4
> 0 -1 -2 1 -3 | *3
>
Hier müssen andere Zahlen stehen:
1 1 1 1 0
1 2 3 4 -4
0 -1 -2 -3 0
0 -3 -2 -1 -4
0 -1 -2 1 -3
>
>
> 1 1 1 1 0
> 1 2 3 4 -4
> 0 -3 -6 -9 0
> 0 -3 -2 -1 -4 | 5. - 4.
> 0 -3 -6 3 -9 | 5. - 3.
>
>
>
> 1 1 1 1 0
> 1 2 3 4 -4
> 0 -3 -6 -9 0
> 0 0 -4 4 -5
> 0 0 0 12 -9
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Do 28.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Ich kann das jetzt nicht so wirklich nachvollziehen :S
Ich habe doch 4-4= 0 und 0-4=-4 und 0-3=-3 gerechnet, wieso ist das falsch ?
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Hallo Carlo,
> Ich kann das jetzt nicht so wirklich nachvollziehen :S
>
> Ich habe doch 4-4= 0 und 0-4=-4 und 0-3=-3 gerechnet, wieso
> ist das falsch ?
Wenn ich 3. Zeile minus 4 mal 1. Zeile rechne, steht
in der 3. Zeile, 5. Spalte eine von 0 verschiedene Zahl.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Do 28.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Dankeschön für die Hilfe :)
Ich habs jetzt verbessert und komme auf
[mm] x_1= [/mm] 1 ; [mm] x_2= [/mm] 1 ; [mm] x_3= [/mm] -1 ; [mm] x_4= [/mm] -1
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> [mm]x_1=[/mm] 1 ; [mm]x_2=[/mm] 1 ; [mm]x_3=[/mm] -1 ; [mm]x_4=[/mm] -1
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Diese Lösung passt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 Fr 29.04.2011 | | Autor: | Carlo |
| Aufgabe | [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 } \pmat{ x_1 \\ x_2 \\ x_3 } [/mm] =
[mm] \pmat{ 0 \\ 3 \\ 6 } [/mm] |
Ich habe noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe.Undzwar habe ich diese obige Aufgabe soweit eliminiert, dass ich in der letzten Zeile nur noch Nullen stehen hatte.
Die Aufgabe müsste doch unendlich viele Lösungen haben. Aber wie müsste ich das mathematisch "sauber" formulieren ?
Also für $ [mm] x_3 [/mm] $ habe ich 0=0 raus.
$ [mm] x_2= [/mm] $ -1 und $ [mm] x_1=2 [/mm] $
Ich weiß jetzt nicht, wie weit das richtig ist :S
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> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 } \pmat{ x_1 \\
x_2 \\
x_3 }[/mm]
> =
> [mm]\pmat{ 0 \\
3 \\
6 }[/mm]
>
> Ich habe noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe.Undzwar
> habe ich diese obige Aufgabe soweit eliminiert, dass ich in
> der letzten Zeile nur noch Nullen stehen hatte.
Hallo,
es wäre schön, wenn man von Deinen Rechnungen etwas sehen könnte, zumindest das Ende: die (reduzierte) Zeilenstufenform o.ä.
> Die Aufgabe müsste doch unendlich viele Lösungen haben.
> Aber wie müsste ich das mathematisch "sauber" formulieren
> ?
>
>
> Also für [mm]x_3[/mm] habe ich 0=0 raus.
> [mm]x_2=[/mm] -1 und [mm]x_1=2[/mm]
>
> Ich weiß jetzt nicht, wie weit das richtig ist :S
Am Ende solltest Du sowas dastehen haben:
[mm] \pmat{1&0&-1&|&2\\0&1&2&|-1\\0&0&0&|&0}
[/mm]
bzw.
[mm] x_1-x_3=2 [/mm] <==> [mm] x_1=2-x_3
[/mm]
[mm] x_2+2x_3=-1 [/mm] <==> [mm] x_2=-1-2x_3.
[/mm]
Mit [mm] x_3=t [/mm] bekommst Du:
Alle Lösungen des Systems haben die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{2-t\\-1-2t\\t}=\vektor{2\\-1\\0}+t*\vektor{-1\\-2\\1}, [/mm] qquad [mm] t\in \IR.
[/mm]
Der Vektor [mm] \vektor{2\\-1\\0} [/mm] ist eine spezielle Lösung Deines inhomogenen LGS, der Vektor [mm] \vektor{-1\\-2\\1} [/mm] ist eine Basis des zugehörigen homogenen Systems.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Fr 29.04.2011 | | Autor: | Carlo |
soweit habe ich es auch ausgerechnet, die Zeile ist bei mir richtig, nur was ichnicht verstehe ist: [mm] x_3 [/mm] ist doch gleich 0 und wenn ich das denn in die 2. Zeile einsetze komme ich auf [mm] x_2= [/mm] -1, woher weiß man denn, dass [mm] x_3=t [/mm] ist ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Fr 29.04.2011 | | Autor: | abakus |
> soweit habe ich es auch ausgerechnet, die Zeile ist bei mir
> richtig, nur was ichnicht verstehe ist: [mm]x_3[/mm] ist doch gleich 0
Wieso denn?
Aus [mm] 0*x_3=0 [/mm] folgt nicht zwangsläufig [mm] x_3 [/mm] = 0.
Jede beliebige andere Zahl erfüllt diese Gleichung AUCH.
Und dieser beliebigen Lösung wurde der Name "t" verpasst.
Gruß Abakus
> und wenn ich das denn in die 2. Zeile einsetze komme ich
> auf [mm]x_2=[/mm] -1, woher weiß man denn, dass [mm]x_3=t[/mm] ist ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Fr 29.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Ja, es folgt nicht unbedingt [mm] x_3=0 [/mm] , aber [mm] 0*x_3=0 [/mm] und dabei kommt denn 0=0 raus :S Ist es denn immer so, wenn man 0=0 raus hat, dass [mm] x_3 [/mm] eine beliebige Zahl annehmen kann ?
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Hallo Carlo,
> Ja, es folgt nicht unbedingt [mm]x_3=0[/mm] , aber [mm]0*x_3=0[/mm] und dabei
> kommt denn 0=0 raus :S Ist es denn immer so, wenn man 0=0
> raus hat, dass [mm]x_3[/mm] eine beliebige Zahl annehmen kann ?
Aus der Gleichung
[mm]0*x_{3}=0[/mm]
geht hervor, daß für [mm]x_{3}[/mm] jede beliebige Zahl eingesetzt werden kann.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Fr 29.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Für [mm] x_1 [/mm] kommt doch 2 + t raus und nicht 2 -t oder ? :S
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Hallo Carlo,
> Für [mm]x_1[/mm] kommt doch 2 + t raus und nicht 2 -t oder ? :S
[mm]x_{1}=2+t[/mm] ist richtig.
Gruss
MathePower
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