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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - "Alle Ringhomomorphismen"
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"Alle Ringhomomorphismen": Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:31 Sa 25.10.2008
Autor: cantor

Aufgabe
Seien $ m, n [mm] \ge [/mm] 0 $ ganze Zahlen. Bestimme alle Ringhomomorphismen $ [mm] \Phi: \IZ [/mm] {/} m [mm] \IZ \to \IZ [/mm] {/} n [mm] \IZ [/mm] $

Hi,
wahrscheinlich eine einfache Aufgabe, kriegs aber nicht ganz hin, also die Abbildung die alles auf die Null in $  [mm] \IZ [/mm] {/} n [mm] \IZ [/mm] $ abbildet, erfüllt das natürlich, aber welche Abbildungen noch?

Mit  $ [mm] \{\overline{0}, ... , \overline{m-1} \} [/mm] $  bezeichne ich die Elemente von [mm] $\IZ [/mm] {/} m [mm] \IZ$ [/mm] dann kann man wegen [mm] $\Phi (\overline{a} [/mm] + [mm] \overline{b}) [/mm] = [mm] \Phi(\overline{a}) [/mm] + [mm] \Phi(\overline{b})$ [/mm] folgern, dass für jeden Ringhomomorphismus auf jeden Fall schonmal [mm] $\Phi(\overline{a}) [/mm] = [mm] \Phi(\overline{1}) [/mm] * [mm] \overline{a}$ [/mm] gilt, oder?

Danke für Eure Hilfe,

        
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"Alle Ringhomomorphismen": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 Sa 25.10.2008
Autor: Fry

Hallo,

also die Abbildung, die einem quasi ins Auge springt ist:
[mm] \phi: \IZ/m\IZ \to \IZ/n\IZ [/mm]
[mm] a+m\IZ \mapsto a+n\IZ [/mm]

jetzt müsste man erstmal überprüfen, ob [mm] \phi [/mm] überhaupt Ringhomomorphismus ist. Das müsste auch der einzige sein.
Um dies zu beweisen, kannst du z.B. zeigen, dass, falls [mm] \psi [/mm] ein anderer Ringhomomorphismus [mm] \IZ/m\IZ \to \IZ/n\IZ [/mm] ist, gilt: [mm] \phi=\psi. [/mm] Aber bin mir auch nicht so sicher.

Gruß
Christian

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"Alle Ringhomomorphismen": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Sa 25.10.2008
Autor: andreas

hallo.

[mm] $\Phi(\overline{a}) [/mm] = [mm] \Phi(\overline{1})\overline{a}$ [/mm] ist schon ein sehr guter ansatz. je nachdem, ob bei euch bei einem ringhomomorphismus [mm] $\varphi(1) [/mm] = 1$ gelten muss, steht schon der einzige kandidaten direkt da, wenn nein, musst du dir eben überlegen, was passiert, wenn du $1$ auf verschiedene elemente abbildest.
dann überlege dir mal, wann das wohldefiniert ist, das hat was mit der teilbarkeit von $m$ durch $n$ zu tuen (bedenke, dass [mm] $\varphi(0) [/mm] = 0$ gelten muss und [mm] $\overline{m} [/mm] = [mm] \overline{0}$ [/mm] in [mm] $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$). [/mm]


grüße
andreas

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"Alle Ringhomomorphismen": Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Sa 25.10.2008
Autor: cantor

Hallo, vielen Dank für eure Hinweise, denke ich weiß wie du das mit der Teilbarkeit meinst. Aber mir ist grade noch etwas elementareres aufgefallen. Ist die Abbildung, die ihr vorgeschlagen habt, überhaupt wohldefiniert?

Beispiel: $m=4, [mm] \IZ [/mm] / [mm] 4\IZ [/mm] = [mm] \{\overline{0}, ... \overline{3}\}, [/mm] n=7, [mm] \IZ [/mm] / [mm] 7\IZ [/mm] = [mm] \{\overline{0}, ... \overline{6}\}$ [/mm]
[mm] $\Phi: \IZ [/mm] / [mm] 4\IZ \to \IZ [/mm] / [mm] 7\IZ$ [/mm]  mit  [mm] $\Phi(\overline{a}) [/mm] = [mm] \overline{a}$ [/mm]
Es gilt in [mm] $\IZ [/mm] / [mm] 4\IZ$ [/mm]  $ [mm] \overline{2} [/mm] = [mm] \overline{6}$ [/mm] aber [mm] $\Phi(\overline{2}) [/mm] = [mm] \overline{2} [/mm] $ und  [mm] $\Phi(\overline{6}) [/mm] = [mm] \overline{6}$ [/mm]

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"Alle Ringhomomorphismen": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:45 So 26.10.2008
Autor: felixf

Moin

> Hallo, vielen Dank für eure Hinweise, denke ich weiß wie du
> das mit der Teilbarkeit meinst. Aber mir ist grade noch
> etwas elementareres aufgefallen. Ist die Abbildung, die ihr
> vorgeschlagen habt, überhaupt wohldefiniert?

Nun, das hat ganz stark was mit der Teilbarkeit zu tun :)

> Beispiel: [mm]m=4, \IZ / 4\IZ = \{\overline{0}, ... \overline{3}\}, n=7, \IZ / 7\IZ = \{\overline{0}, ... \overline{6}\}[/mm]
>  
> [mm]\Phi: \IZ / 4\IZ \to \IZ / 7\IZ[/mm]  mit  [mm]\Phi(\overline{a}) = \overline{a}[/mm]
> Es gilt in [mm]\IZ / 4\IZ[/mm]  [mm]\overline{2} = \overline{6}[/mm] aber
> [mm]\Phi(\overline{2}) = \overline{2}[/mm] und  [mm]\Phi(\overline{6}) = \overline{6}[/mm]

Genau, hier geht was schief. Das Problem ist halt, dass 7 nicht die Differenz $6 - 2$ teilt.

Ein letzter Tipp vielleicht: zu gewaehlten $n$ und $m$ gibt es entweder keinen oder genau einen Ringhomomorphismus von [mm] $\IZ/n\IZ \to \IZ/m\IZ$. [/mm]

LG Felix



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"Alle Ringhomomorphismen": danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:16 So 26.10.2008
Autor: cantor

dann ist alles klar :)

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"Alle Ringhomomorphismen": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:59 So 26.10.2008
Autor: andreas

hallo

vielleicht noch ein alternativer weg: anwendung des homomorphissatz auf die natürlichen projektionen [mm] $\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ [/mm] leifert auch genau diese teilbarkeitsbedingung für die fortsetzung.


grüße
andreas

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