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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Sa 18.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
| Aufgabe | Man bestimme alle Lösungen des folgenden Gleichungssystems über [mm] Z_{7}
[/mm]
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] =1
[mm] 4x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3} [/mm] = 2
[mm] 3x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 6x_{3} [/mm] = 5
[mm] 5x_{2} [/mm] + [mm] 5x_{3} [/mm] = 0 |
Hallo!
Wie löse ich denn dieses LGS? Muss ich es in eine bestimmte Form bringen, oder verunsichert mich das [mm] Z_{7} [/mm] einfach zu sehr?
Wie bestimme ich alle Lösungen über [mm] Z_{7}? [/mm] Ich werd da irgendwie aus dem Skript nicht schlau!
Meine bisherige rumrechnerei ergibt leider nur viel sinnfreies ...
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> Man bestimme alle Lösungen des folgenden Gleichungssystems
> über [mm]Z_{7}[/mm]
>
> [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] =1
> [mm]4x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 2
> [mm]3x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]6x_{3}[/mm] = 5
> [mm]5x_{2}[/mm] + [mm]5x_{3}[/mm] = 0
> Hallo!
> Wie löse ich denn dieses LGS? Muss ich es in eine
> bestimmte Form bringen, oder verunsichert mich das [mm]Z_{7}[/mm]
> einfach zu sehr?
> Wie bestimme ich alle Lösungen über [mm]Z_{7}?[/mm] Ich werd da
> irgendwie aus dem Skript nicht schlau!
> Meine bisherige rumrechnerei ergibt leider nur viel
> sinnfreies ...
Hallo,
könntest Du das System denn "ganz" normal lösen?
Im Prinzip geht das hier genauso. Du kannst die erweiterte Koeffizientenmatrix aufstellen und loslegen, z.B. mit den Gaußalgorithmus.
Beachten mußt Du halt, daß Du nun in [mm] \IZ_7 [/mm] bist, wo beipielsweise [mm] 16\equiv [/mm] 2, [mm] -3\equiv [/mm] 4 usw. ist.
Eine andere Besonderheit: Dir steht keine Bruchrechnung zur Verfügung. Dort, wo Du in [mm] \IR [/mm] durch 3 dividieren würdest, mußt Du hier mit dem Inversen von 3 multiplizieren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 So 19.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
> Hallo,
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> könntest Du das System denn "ganz" normal lösen?
Ja kann ich, nur dann wäre dieses hier nicht lösbar, denn die Probe ergbit dann 7=2 ... und das stimmt ja so nicht ganz ;) Hab für [mm] x_{1}=1, x_{2}=-1 [/mm] und [mm] x_{3}=1 [/mm] ... und das eingesetzt in die 2. Zeile ergibt dann eben 7=2
> Beachten mußt Du halt, daß Du nun in [mm]\IZ_7[/mm] bist, wo
> beipielsweise [mm]16\equiv[/mm] 2, [mm]-3\equiv[/mm] 4 usw. ist.
>
> Eine andere Besonderheit: Dir steht keine Bruchrechnung zur
> Verfügung. Dort, wo Du in [mm]\IR[/mm] durch 3 dividieren würdest,
> mußt Du hier mit dem Inversen von 3 multiplizieren.
>
> Gruß v. Angela
Nur wie kann ich von meinem bisher errechneten, auf den richtigen Lösungsweg kommen?
Vielen Dank und noch einen schönen Sonntag :)
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> > könntest Du das System denn "ganz" normal lösen?
>
> Ja kann ich,
Hallo,
gut.
Dann ist das Problem wirklich nur das Rechnen in [mm] \IZ_7.
[/mm]
Prinzipiell kannst Du mit diesen Restklassen rechnen? Addieren, Multiplizieren?
Das GS war
$ [mm] 2x_{1} [/mm] $ + $ [mm] x_{2} [/mm] $ =1
$ [mm] 4x_{1} [/mm] $ + $ [mm] 3x_{2} [/mm] $ + $ [mm] 6x_{3} [/mm] $ = 2
$ [mm] 3x_{1} [/mm] $ - $ [mm] x_{2} [/mm] $ + $ [mm] 6x_{3} [/mm] $ = 5
$ [mm] 5x_{2} [/mm] $ + $ [mm] 5x_{3} [/mm] $ = 0 .
Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist
[mm] \pmat{ 2 & 1&0& | 1 \\4 & 3&6& | 2 \\ 3 & -1&6& | 5 \\ 0 & 5&5& | 0 }.
[/mm]
Weil ich damit besser rechnen kann, erzeuge ich in der erten Zeile am Anfang eine 1.
Wie mache ich das? Bruchrechnung gibt's hier nicht. Ich multipliziere die 1.Zeile mit dem Inversen von 2. Das Inverse von 2 in der Restklasse modulo 7 ist 4, denn es ist [mm] 2*4=8\equiv [/mm] 1 (mod 7).
Also
--> [mm] \pmat{ 1 & 4&0& | 4 \\ 4 & 3&6& | 2 \\ 3 & -1&6& | 5 \\ 0 & 5&5& | 0 }
[/mm]
Nun erzeuge ich in gewohnter Art und Weise Nullen in der ersten Spalte: (4*1.Zeile - 2.Zeile; 3*1.Zeile - 3.Zeile)
--> [mm] \pmat{ 1 & 4&0& | 4 \\0 & 13&-6& | 14 \\ 0 & 13&-6& | 7 \\ 0 & 5&5& | 0 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 4&0& | 4 \\0 & 6&1& | 0\\ 0 & 6&1& | 0\\ 0 & 5&5& | 0 } [/mm]
(Die zweite Matrix ist entstanden, indem ich [mm] 13\equiv [/mm] 6 (mod 7) usw. verwendet habe.)
Du solltest nun eine Ahnung bekommen haben, wie es geht. Mach jetzt mal weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 So 19.10.2008 | | Autor: | SirSmoke |
Vieeeeeeelen Dank :)
Hab jetzt am Ende dies hier rausbekommen: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 |4 \\ 0 & 1 & 0 |0 \\ 0 & 0 & 1 |0 \\ 0 & 0 & 0 |0 } [/mm]
Ich hoffe mal, dass das soweit stimmt?
Lautet meine Lösung dann [mm] \IL=\{\vektor{4 \\ 0 \\ 0 \\ 0}\} [/mm] ?
Hier mal noch mein fortgeführter Rechenweg:
[mm] \pmat{ 1 & 4&0& | 4 \\0 & 6&1& | 0\\ 0 & 6&1& | 0\\ 0 & 5&5& | 0 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 4&0& | 4 \\0 & 6&1& | 0\\ 0 & 0&0& | 0\\ 0 & 5&5& | 0 } [/mm] --> dann IV + 2*II --> [mm] \pmat{ 1 & 4&0& | 4 \\0 & 6&1& | 0\\ 0 & 0&0& | 0\\ 0 & 2&0& | 0 } [/mm] --> IV mit Inversen für 2 multiplizieren --> [mm] \pmat{ 1 & 4&0& | 4 \\0 & 6&1& | 0\\ 0 & 0&0& | 0\\ 0 & 1&0& | 0 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 0&0& | 4 \\0 & 0&1& | 0\\ 0 & 0&0& | 0\\ 0 & 1&0& | 0 } [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 |4 \\ 0 & 1 & 0 |0 \\ 0 & 0 & 1 |0 \\ 0 & 0 & 0 |0 } [/mm]
Vielen vielen Dank nochmals für die kleine große Freude an diesem Sonntag :)
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> Vieeeeeeelen Dank :)
>
> Hab jetzt am Ende dies hier rausbekommen: [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 |4 \\ 0 & 1 & 0 |0 \\ 0 & 0 & 1 |0 \\ 0 & 0 & 0 |0 }[/mm]
> Ich hoffe mal, dass das soweit stimmt?
Hallo,
ich glaube, das hatte ich gestern auch schonmal. Mach doch die Probe. Stimmt's?
> Lautet meine Lösung dann [mm]\IL=\{\vektor{4 \\ 0 \\ 0 \\ 0}\}[/mm]
Wohl kaum - Dein Vektor hat ja 4 Komponenten, die Gleichung jedoch nur 3 Variable.
Gruß v. Angela
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ist die lösung nicht dann der vektor ohne die letzte 0?
wenn man nämlich für [mm] x_{1}=4, x_{2}=x_{3}=0 [/mm] einsetzt, würde man auf die ergebnisse kommen
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> ist die lösung nicht dann der vektor ohne die letzte 0?
> wenn man nämlich für [mm]x_{1}=4, x_{2}=x_{3}=0[/mm] einsetzt,
> würde man auf die ergebnisse kommen
Hallo,
ja, richtig. Auf die Null zuviel kam es mir an.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:44 So 19.10.2008 | | Autor: | Lorence |
> (Die zweite Matrix ist entstanden, indem ich [mm]13\equiv[/mm] 6
> (mod 7) usw. verwendet habe.)
Bist du sicher, dass es 6 mod 7 heißt und nich 7 mod 6?
Wird mit Mod nicht der Rest gemeint? also 13 = 7 mod/rest 6 ?
Is nur ne Verständnissfrage.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 So 19.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> > (Die zweite Matrix ist entstanden, indem ich [mm]13\equiv[/mm] 6
> > (mod 7) usw. verwendet habe.)
> Bist du sicher, dass es 6 mod 7 heißt und nich 7 mod 6?
> Wird mit Mod nicht der Rest gemeint? also 13 = 7 mod/rest 6?
Nein, [mm] $13\equiv 6\pmod [/mm] 7$ ist richtig.
Gruß, Robert
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