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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Kalka |
| Aufgabe | Begründe, warum für [mm] x_n\ge0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a [/mm] mit [mm] a\ge0 [/mm] gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{x_n}=\wurzel{a}
[/mm]
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Hallo Zusammen,
hier eine Aufgabe, bei welcher ich nicht weiß, wie man dies mathematisch ausdrücken soll. Diese Umformung in der Aufgabe ist für mich eigentlich einleuchtend. Hat eine Funktion den Grenzwert a, so ist der Grenzwert von der Selben Funktion [mm] (x_n)^\bruch{1}{2} [/mm] eben auch [mm] a^\bruch{1}{2}.
[/mm]
Man könnte dies ja auch als einfache Umformung ansehen, bei welcher auf beiden seiten lediglich die Wurzel gezogen wird. Also folgendes:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a |\wurzel{ }
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{x_n}=\wurzel{a}
[/mm]
Ist das etwa die Lösung der Aufgabe? Oder muss man das ganze noch anders Formulieren?
Viele Grüße,
Kalka
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Hallo Kalka,
> Man könnte dies ja auch als einfache Umformung ansehen,
> bei welcher auf beiden seiten lediglich die Wurzel gezogen
> wird. Also folgendes:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a |\wurzel{ }[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{x_n}=\wurzel{a}[/mm]
>
> Ist das etwa die Lösung der Aufgabe? Oder muss man das
> ganze noch anders Formulieren?
Leider ist das, was du geschrieben hast, nicht die Lösung der Aufgabe. Um genau zu sein, hast du deine Aussage bewiesen, indem du die Aussage selbst benutzt hast - du wirst mir zustimmen, so sollte ein Beweis nicht aussehen (und es ist auch keiner).
Du verwendest nämlich stillschweigend, dass [mm] $\sqrt{\limes_{n\rightarrow\infty}x_n} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\sqrt{x_{n}}$; [/mm] genau das sollst du aber zeigen!
Für deinen Beweis musst du die [mm] \epsilon [/mm] - Definition von Grenzwerten benutzen (oder solltest es zumindest tun!).
Du weißt, dass für [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N\in \N$ [/mm] existiert sodass [mm] $|x_{n}-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n> N$.
Nun musst du zeigen, dass dann für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] existiert sodass
[mm] $|\sqrt{x_{n}}-\sqrt{a}| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n> N$.
Das hört sich jetzt furchtbar kompliziert an, im Grunde geht es aber nur darum zu zeigen, dass
[mm] $|\sqrt{x_{n}}-\sqrt{a}| [/mm] < ... < [mm] \epsilon *\mbox{ Konstanter Faktor}$
[/mm]
(mit dem [mm] \epsilon [/mm] in [mm] $|x_{n}-a| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] von oben).
Beginne so:
[mm] $|\sqrt{x_{n}}-\sqrt{a}| [/mm] = [mm] \left|\frac{\sqrt{x_{n}}+\sqrt{a}}{\sqrt{x_{n}}+\sqrt{a}}*(\sqrt{x_{n}}-\sqrt{a})\right| [/mm] = ... $
Verwenden musst du außerdem, dass weil [mm] $x_{n}$ [/mm] konvergent ist [mm] $x_{n}$ [/mm] auch beschränkt ist, also ein K existiert sodass [mm] |x_{n}| [/mm] < K.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Sa 14.11.2009 | | Autor: | Kalka |
Hallo,
Danke für deine Antwort :) Das meine Idee kein vernünftiger Beweis ist sehe ich jetzt ein, den Grundgedanken der Aufgabe hab ich auch soweit verstanden. Ich habe einfach mal mit deinem Ansatz weiter gemacht:
[mm] |\sqrt{x_{n}}-\sqrt{a}| [/mm] = [mm] \left|\frac{\sqrt{x_{n}}+\sqrt{a}}{\sqrt{x_{n}}+\sqrt{a}}\cdot{}(\sqrt{x_{n}}-\sqrt{a})\right| [/mm] = [mm] \left| \frac{x_{n} - a}{\sqrt{x_{n}} + \sqrt{a}}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{1}{\sqrt{x_{n}} + \sqrt{a}}*(x_{n}-a)\right|=\left|\frac{1}{\sqrt{x_{n}}+\sqrt{a}}\right|*\left|(x_{n}-a)\right|
[/mm]
Und wir wissen ja das [mm] \left|(x_{n}-a)\right|<\varepsilon. [/mm] Kann man jetzt wegen dieser Aussage auf folgendes schließen?:
$ [mm] \left|\sqrt{x_{n}} - \sqrt{a}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{1}{\sqrt{x_{n}}+\sqrt{a}}\right|*\left|(x_{n}-a)\right| [/mm] < [mm] \varepsilon*\left|\frac{1}{\sqrt{x_{n}} + \sqrt{a}}\right| [/mm] $
Hätte man dann deinen Ausdruck
$ [mm] |\sqrt{x_{n}}-\sqrt{a}| [/mm] < ... < [mm] \epsilon \cdot{}\mbox{ Konstanter Faktor} [/mm] $
erfüllt, oder ist dies in meiner Gleichung kein konstanter Faktor?
Viele Grüße,
Kalka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 So 15.11.2009 | | Autor: | Kalka |
Hallo Zusammen,
leider hatte ich den Zeitrahmen meiner letzten Frage nicht richtig gesetzt, ich bin weiterhin auf eine Antwort gespannt :)
Viele Grüße,
Kalka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Das
$ [mm] |\sqrt{x_{n}}-\sqrt{a}| [/mm] $ = $ [mm] \left|\frac{\sqrt{x_{n}}+\sqrt{a}}{\sqrt{x_{n}}+\sqrt{a}}\cdot{}(\sqrt{x_{n}}-\sqrt{a})\right| [/mm] $ = $ [mm] \left| \frac{x_{n} - a}{\sqrt{x_{n}} + \sqrt{a}}\right| [/mm] $ = $ [mm] \left|\frac{1}{\sqrt{x_{n}} + \sqrt{a}}\cdot{}(x_{n}-a)\right|=\left|\frac{1}{\sqrt{x_{n}}+\sqrt{a}}\right|\cdot{}\left|(x_{n}-a)\right| [/mm] $
ist doch schon mal gut ! Weiter abschätzen:
(*) $ [mm] |\sqrt{x_{n}}-\sqrt{a}| \le \bruch{1}{\wurzel{a}}|x_n-a|$
[/mm]
(*) ist allerdings nur dann nützlich, wenn a [mm] \not= [/mm] 0.
Was machst Du im falle a = 0 ?
FRED
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