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Ein Kriterium der Diagonalisierbarkeit ist ja das Zerfallen in Linearfaktoren. Nur ist mir noch nicht ganz klar, wann dieses erfüllt ist.
Wenn ich das charakteristische Polynom beispielsweise in (x-1)(x-1) zerlegen kann, dann ist die Matrix diagonalisierbar? Und was ist, wenn ich auf (x-1)(x-1)+34 kommen würde?
Dann habe ich noch eine Frage zum Minimalpolynom. Hier müssten ja alle Linearfaktoren den Rang 1 haben. Wäre hier zum Beispiel (x-1)(x-1)+34 schon ein Minimalpolynom?
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Hallo linalaunebaerli,
> Ein Kriterium der Diagonalisierbarkeit ist ja das Zerfallen
> in Linearfaktoren.
Nein, das reicht nicht, die Matrix (bzw. die lineare Abbildung, die sie beschreibt) ist diagonalisierbar, wenn
[mm] \bullet [/mm] das charakt. Polynom in Linearfaktoren zerfällt
und
[mm] \bullet [/mm] für jeden Eigenwert/Nullstelle des char. Polynoms die algebraische und die geometrische Vielfachheit gleich sind
oder
[mm] \bullet [/mm] wenn das charakt. Polynom in lauter verschiedene Linearfaktoren zerfällt
> Nur ist mir noch nicht ganz klar, wann
> dieses erfüllt ist.
>
> Wenn ich das charakteristische Polynom beispielsweise in
> (x-1)(x-1) zerlegen kann, dann ist die Matrix
> diagonalisierbar?
Nein, der Eigenwert 1 hat algebraische Vielfachheit 2, um Diagonalisierbarkeit zu prüfen, müsstest du ausrechnen, welche Dimension der zugeh. Eigenraum hat
> Und was ist, wenn ich auf (x-1)(x-1)+34
> kommen würde?
Das ist keine Zerlegung in Linearfaktoren, 1 ist nicht Nullstelle dieses Polynoms!
Eine Zerlegung in Linearfaktoren hat die Gestalt [mm] $\alpha\cdot{}\prod\limits_{i=1}^n(x-x_i)=\alpha\cdot{}(x-x_1)\cdot{}(x-x_2)\cdot{}....\cdot{}(x-x_n)$ [/mm] mit [mm] $\alpha$ [/mm] aus dem Körper und [mm] $x_i$ [/mm] Nullstellen
>
> Dann habe ich noch eine Frage zum Minimalpolynom. Hier
> müssten ja alle Linearfaktoren den Rang 1 haben.
Nein, das Minimalpolynom ist dasjenige normierte Polynom kleinsten Grades, dass $A$ als Nullstelle hat
Es muss das charakt. Polynom teilen ...
> Wäre hier zum Beispiel (x-1)(x-1)+34 schon ein Minimalpolynom?
Es ist natürlich möglich, dass obiges Polynom das MinPoj zu irgendeiner linearen Abbildung ist, aber so wie du es meintest, sicher nicht.
LG
schachuzipus
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Gut, jetzt habe ich das schon etwas besser verstanden.
Eine letzte Frage jetzt dazu noch:
Nehmen wir an, ich hätte das charakteristische Polynom (x+3)²(x-4)+72, dann würden als Minimalpolynom (x+3)(x-4)+72 und (x+3)²(x-4)+72 in Frage kommen? Habe ich das richtig verstanden?
Und noch eine andere Frage zu endlich erzeugten Vektorräumen. Habe ich das richtig verstanden, dass zum Beispiel [mm] R^2 [/mm] ein endlich erzeugter Raum ist?
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Hallo nochmal,
> Gut, jetzt habe ich das schon etwas besser verstanden.
> Eine letzte Frage jetzt dazu noch:
> Nehmen wir an, ich hätte das charakteristische Polynom
> (x+3)²(x-4)+72, dann würden als Minimalpolynom
> (x+3)(x-4)+72 und (x+3)²(x-4)+72 in Frage kommen? Habe ich
> das richtig verstanden?
Nein, nur letzteres kommt in Frage, das Polynom $(x+3)(x-4)+72$ teilt das char. Polynom nicht
Das obige char. Polynom ist aber auch nicht in Linearfaktoren zerlegt ..
Nehmen wir dieses Bsp.
char. Poly: [mm] $(x-3)^3(x-2)^2(x-1)$
[/mm]
Dann kommen als MinPol in Frage:
1) [mm] $(x-3)^2(x-2)^2(x-1)$
[/mm]
2) [mm] $(x-3)(x-2)^2(x-1)$
[/mm]
3) [mm] $(x-3)^3(x-2)(x-1)$
[/mm]
4) [mm] $(x-3)^3(x-2)^2$
[/mm]
usw.
und natürlich [mm] $(x-3)^3(x-2)^2(x-1)$, [/mm] also das char. Polynom selbst
> Und noch eine andere Frage zu endlich erzeugten
> Vektorräumen. Habe ich das richtig verstanden, dass zum
> Beispiel [mm]R^2[/mm] ein endlich erzeugter Raum ist?
Das hängt wohl vom Körper ab, über dem [mm] $\IR^2$ [/mm] erzeugt sein soll:
Als [mm] $\IR$-VR [/mm] hat es die Basis [mm] $\left\{\vektor{1\\0},\vektor{0\\1}\right\}$, [/mm] ist also endlich erzeugt,
Als [mm] $\IQ$-VR [/mm] ist [mm] $\IR$ [/mm] schon unendlich-dimensional, da eine Basis überabzählbar viele ELemente enthält, damit [mm] $\IR^2$ [/mm] erst recht ...
LG
schachuzipus
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