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| Aufgabe | First-order differential equations need not have solutions that are defined for all times.
a) find the general solution of the equation [mm] y´=y^2
[/mm]
b)Discuss the domains over which each solution is defined
c) Give an example of a differential equation for which the solution satisfying y(0)=0 is defined only for -1<t<1 |
Okay, auch wenn diesmal auf englisch, man kann es ja verstehen.
a) die allgemeine Lösung ist gesucht
y´ [mm] -y^2=0
[/mm]
[mm] y_0=K*e^{x^2}
[/mm]
[mm] y=K(x)*e^{x^2}
[/mm]
y´ =K´ [mm] (x)*e^{x^2}+K(x)*e^{x^2}
[/mm]
y´ [mm] -y^2=K´ (x)*e^{x^2}+K(x)*e^{x^2}-K(x)*e^{x^2}=y^2
[/mm]
K´ [mm] (x)*e^{x^2}=x^2
[/mm]
K´ [mm] (x)=x^2*e^{x^2}
[/mm]
[mm] K(x)=\integral_{}^{}{K´ (x) dx}= \integral_{}^{}{x^2*e^{-x^2} }= \bruch{1}{3}x^3*e^{-x^2}+C
[/mm]
[mm] y=K(x)*e^{x^2}=[\bruch{1}{3}x^3*e^{-x^2}+C]*e^{x^2}
[/mm]
stimmt das soweit?
b) Übersetzt: Diskutiere die "Domänen" über die jede Lösung definiert ist.
Da habe ich leider keine Ahnung..
c)Geben Sie ein Beispiel für eine Differentialgleichung für die Lösung, welche y (0) = 0 ist nur für -1<t<1 definiert
Ist dies nicht eine Anfangswertaufgabe mit diesem y(0)=0? Wie bekomme ich einen solche DGL heraus?
MfG
Mathegirl
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> First-order differential equations need not have solutions
> that are defined for all times.
> a) find the general solution of the equation [mm]y'=y^2[/mm]
> b)Discuss the domains over which each solution is defined
> c) Give an example of a differential equation for which
> the solution satisfying y(0)=0 is defined only for -1<t<1
> Okay, auch wenn diesmal auf englisch, man kann es ja
> verstehen.
> a) die allgemeine Lösung ist gesucht
>
> y' [mm]-y^2=0[/mm]
> [mm]y_0=K*e^{x^2}[/mm]
> [mm]y=K(x)*e^{x^2}[/mm]
> y' =K' [mm](x)*e^{x^2}+K(x)*e^{x^2}[/mm]
> y' [mm]-y^2=K' (x)*e^{x^2}+K(x)*e^{x^2}-K(x)*e^{x^2}=y^2[/mm]
>
> K' [mm](x)*e^{x^2}=x^2[/mm]
> K' [mm](x)=x^2*e^{x^2}[/mm]
> [mm]K(x)=\integral_{}^{}{K' (x) dx}= \integral_{}^{}{x^2*e^{-x^2} }= \bruch{1}{3}x^3*e^{-x^2}+C[/mm]
>
> stimmt das soweit?
>
> MfG
> Mathegirl
Hallo Mathegirl,
zuerst habe ich in deinem Text einmal alle Ableitungsstriche (´´´´´´´)
durch die richtigen Zeichen (''''''') ersetzt, die auch innerhalb von
Formeln lesbar bleiben.
Ich frage mich, auf was für einer seltsamen Tastatur du
schreibst, auf der du den einfachen Apostroph offenbar
nicht findest ...
Zu den Rechnungen: ich sehe nicht, wie du zu den
Ausdrücken mit [mm] e^{x^2} [/mm] kommst. Die erfüllen jedenfalls
die DGL nicht.
Diese DGL kann man durch Separation der Variablen lösen.
Sagt Dir dies etwas ?
LG Al-Chw.
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Seperation der variablen kenne ich nur wenn x und y vorkommen. ich hab leider keine andere Idee wie ich die Aufgabe angehen soll.
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:55 So 06.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seperation der variablen kenne ich nur wenn x und y
> vorkommen. ich hab leider keine andere Idee wie ich die
> Aufgabe angehen soll.
1. Deine obige "Idee" sieht so aus, als würdest Du so etwas machen wie "Variation der Konstanten". Kann das sein ?
Wenn ja: die Methode "Variation der Konstanten" ist brauchbar für lineare DGLen. Obige DGL ist aber nicht linear !
1. Seperation der Variablen kann man machen wenn die DGL von folgendem Typ ist
y'=f(x)g(y).
Niemand auf der Welt hat jemals verboten, dass f eine konstante Funktion sein darf., zum Bsp. konstant=1.
FRED
>
>
> Mathegirl
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Das Problem ist, in der VL wird absolut nichts erklärt, ohne vernünftiges Buch würde ich nicht mal wissen, dass es diese Möglichkeit mit Trennung der Variablen gibt!!! daher weiß ich auch nicht wie man genau die Picard Iteration (siehe andere Frage im Forum von mir)anwendet.
okay, ich versuche es mal:
Stimmt dieser Ansatz?
[mm] \bruch{dy}{dx}=y^2 \Rightarrow \bruch{dy}{y^2}=dx
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{y^2}} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{dx} \Rightarrow ln|y^2|=x^2+C
[/mm]
[mm] |y^2|=e^{x^2+C}=e^*e^{x^2}
[/mm]
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:13 So 06.11.2011 | | Autor: | fred97 |
[mm] ln|y^2| [/mm] war noch nie eine Stammfunktion v0n [mm] 1/y^2 [/mm] und wird es auch nie sein.
Ebenso: [mm] x^2 [/mm] war noch nie eine Stammfunktion von 1
FRED
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[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{y}}=\integral_{}^{}{dx}= -\bruch{1}{y}= [/mm] x+C
nach y aufgelöst erhält man dann
[mm] y=-\bruch{1}{x+C}
[/mm]
stimmt es jetzt?
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 So 06.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y}}=\integral_{}^{}{dx}= -\bruch{1}{y}=[/mm]
> x+C
Du hast oben ein Quadrat vergessen: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{y^2}}
[/mm]
Das zweite "="- Zeichen ist völlig fehl am Platz.
>
> nach y aufgelöst erhält man dann
> [mm]y=-\bruch{1}{x+C}[/mm]
>
> stimmt es jetzt?
Ja
FRED
>
> Mathegirl
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Ist das schon die allgemeine Lösung der DGL oder gibt es noch mehrere Lösungen?
Und wie ist Aufgabenteil b) gemeint?
MfG
mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 So 06.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ist das schon die allgemeine Lösung der DGL oder gibt es
> noch mehrere Lösungen?
Für jedes C [mm] \in \IR [/mm] ist
$ [mm] y=-\bruch{1}{x+C} [/mm] $
eine Lösung der DGL. Das sind aber noch nicht alle !
Es fehlt noch eine ganz einfache. Welche ? Tipp: bei Deiner Herleitung hat Du durch [mm] y^2 [/mm] geteilt. Wann darf man das nicht ?
>
> Und wie ist Aufgabenteil b) gemeint?
Ist z.B. C=2, so ist $ [mm] y=-\bruch{1}{x+2} [/mm] $ eine Lösung der DGL auf (- [mm] \infty, [/mm] -2) und auf (-2, [mm] \infty)
[/mm]
Wie schauts also für $ [mm] y=-\bruch{1}{x+C} [/mm] $ aus ?
FRED
>
> MfG
> mathegirl
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y darf nicht 0 sein! Also [mm] y\not= [/mm] 0
für [mm] y=-\bruch{1}{x+C} [/mm] , [mm] C\in \IR [/mm] muss dann gelten [mm] (-\infty, [/mm] -C) und [mm] (-C,\infty) [/mm]
Kannst du mir vielleicht noch ein paar Tipps geben zu Teil c)
bzw. wie ich diese DGL ermitteln kann mit y=0 für das Intervall -1<t<1
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 So 06.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> y darf nicht 0 sein! Also [mm]y\not=[/mm] 0
Welche Lösung fehlt also noch ?
>
> für [mm]y=-\bruch{1}{x+C}[/mm] , [mm]C\in \IR[/mm] muss dann gelten
> [mm](-\infty,[/mm] -C) und [mm](-C,\infty)[/mm]
>
> Kannst du mir vielleicht noch ein paar Tipps geben zu Teil
> c)
> bzw. wie ich diese DGL ermitteln kann mit y=0 für das
> Intervall -1<t<1
Wie wärs mit
[mm] $y'(t)=\bruch{2t}{(1-t^2)^2}$ [/mm] , y(0)=0
FRED
>
>
> Mathegirl
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Wie hast du diese DGL gefunden?
Ich will es wirklich verstehen und nicht nur abschreiben!
MfG
mathegirl
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Man sucht sich eine Funktion y(t), die die gewünschten Eigenschaften hat, also in diesem Fall mit [mm] \lim_{t\to\pm 1}y(t)=\infty, [/mm] sodass klar sit, dass sie als Lösung einer DGL nicht über das Intervall (-1,1) hinaus fortgesetzt werden kann, und stellt dann eine passende DGL dazu auf.
Eine solche Funktion ist z.B. [mm] y(t)=\frac{1}{1-t^2}.
[/mm]
Die zugehörige DGL erhältst du am einfachsten, indem du einfach die Ableitung y' berechnest und auf die rechte Seite schreibst:
y' = [mm] \frac{2t}{(1-t^2)^2},
[/mm]
eine andere DGL mit der gleichen Lösung wäre z.B. y' = [mm] 2t*y^2
[/mm]
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y=0 ist keine Lösung des DGL
oder was soll hier die 2.Lösung sein?
MfG
Mathegirl
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> y=0 ist keine Lösung des DGL ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> oder was soll hier die 2.Lösung sein?
Die DGL war doch [mm] y'=y^2
[/mm]
Diese DGL wird doch sehr wohl erfüllt durch die Funktion,
welche jeder Zahl x den Wert y(x)=0 zuordnet (konstante
Nullfunktion).
Nur "verliert" man eben diese "triviale" Lösung der DGL
bei dem üblichen Weg durch Trennung der Variablen und
nachfolgende Integration, die auf die Lösungen der Form
$ y\ =\ [mm] -\,\bruch{1}{x+C} [/mm] $
führt.
zu b) : "Domain" einer Funktion ist ihr Definitionsbereich
zu c) : Um eine DGL y'=f(x,y) hinzuschreiben, bei der der
Definitionsbereich derjenigen Lösungskurve, die durch den
Punkt (0/0) geht, auf das Intervall (-1 ... 1) beschränkt bleibt,
kann man einfach auf der rechten Seite einen Term hinschreiben,
der zwar in diesem Intervall definiert und stetig ist, aber an
dessen Rändern, also an den Stellen x=-1 und x=+1 nicht
definiert ist. Am einfachsten erzielt man das etwa mit
$\ f(x,y)\ =\ [mm] \frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}$ [/mm] oder $\ f(x,y)\ =\ [mm] \frac{1}{x+1}*\frac{1}{x-1}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{x^2-1}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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