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| Aufgabe 1 | | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von y' = [mm] e^{-y+2x} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung von y' = [mm] -\bruch{e^{x}}{y(1+e^{x})} [/mm] |
Die Aufgaben sind bestimmt einfach, nur stehe ich leider auf dem Schlauch und weder Internet noch Fachbücher helfen mir, bestimmt weil ich auch nach dem Falschen suche.
Im Skript steht für die Lösung gewöhnlicher DGL 1. Ordung y'(x) = f(x,y):
Funktion y: x [mm] \to [/mm] y(x) mit y'(x) = f(x,y(x)) (für x [mm] \in [/mm] (a,b) [mm] \subset \IR; [/mm] also für x aus Intervall I)
Leider kann ich damit nicht sonderlich viel anfangen. Evtl. kann mir jemand sagen, wie ich an so eine Aufgabe herangehe, oder wo ich Informationen finde, wie ich das mache.
Vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Fr 28.10.2011 | | Autor: | DM08 |
Du solltest so anfangen :
[mm] y'=\bruch{dy}{dx}=\bruch{e^{2x}}{e^y} \gdw e^{y}dy=e^{2x}dx
[/mm]
Jetzt auf beiden Seiten integrieren und auf die Konstanten achten.
Hier kommt es darauf an, wie genau ihr das definiert habt usw..
MfG
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Ok. y' = [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] ist also immer der erste Ansatz?
Das bedeutet doch, dass ich erst einmal nach y differenziere und x als Konstant betrachte (dy) und danach umgekehrt (dx), oder?
Aber das wäre doch dann dy = [mm] -e^{-y+2x} [/mm] und dx = [mm] 2e^{-y+2x} [/mm] ?
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Hallo nochmal,
> Ok. y' = [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] ist also immer der erste Ansatz?
Jo, es ist [mm]y[/mm] ja eine Funktion in der Variable [mm]x[/mm], also [mm]y=y(x)[/mm]
Und [mm]y'=y'(x)=\frac{dy}{dx}[/mm] ist nur eine andere Schreibweise für die Ableitung.
Damit kann man dann rechnen wie mit Brüchen ...
>
> Das bedeutet doch, dass ich erst einmal nach y
> differenziere und x als Konstant betrachte (dy) und danach
> umgekehrt (dx), oder?
Nein!
>
> Aber das wäre doch dann dy = [mm]-e^{-y+2x}[/mm] und dx =
> [mm]2e^{-y+2x}[/mm] ?
Es ist [mm]y'=y'(x)=\frac{dy}{dx}[/mm] - du differenzierst die Fkt. y nach x ...
Nochmal deutlich: [mm] $\frac{dy}{dx}$ [/mm] bedeutet $y'(x)$
Aus der Schule: $f'(x)$ bedeutet in dieser Schreibweise dann [mm] $\frac{df}{dx}$ [/mm] ...
Also [mm]y'=e^{-y+2x}[/mm]
[mm]\gdw \frac{dy}{dx}=e^{-y+2x}[/mm]
Nun Potentzgesetze rechterhand:
[mm]\gdw \frac{dy}{dx}=e^{-y}\cdot{}e^{2x}[/mm]
Nun [mm]\cdot{}e^y[/mm] auf beiden Seiten
[mm]\gdw e^y \ \frac{dy}{dx}=e^{2x}[/mm]
Noch [mm]\cdot{}dx[/mm] auf beiden Seiten
[mm]\gdw e^y \ dy \ = \ e^{2x} \ dx[/mm]
Dann integrieren:
[mm]\int{e^y \ dy} \ = \ \int{e^{2x} \ dx}[/mm]
...
Gruß
schachuzipus
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Hallo timgkeller,
auch bei der 2. Aufgabe ist Trennung der Variablen ein probates Mittel:
[mm]y'=-\frac{e^x}{y\left(e^x+1\right)}[/mm]
[mm]\Rightarrow\ldots\Rightarrow \int{-y \ dy} \ = \ \int{\frac{e^x}{e^x+1} \ dx}[/mm]
Das Integral rechterhand sieht schwieriger aus als es ist.
Beachte, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht.
Falls nix geht: Substituiere [mm]u=u(x):=e^x[/mm]
(Wahlweise [mm] $u=u(x):=e^x+1$)
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Ok, mal sehen, ob ich das richtig verstanden habe. Wenn ich die allgemeine Lösung einer DGL 1. Ordnung haben möchte (y'(x) = f(x,y)) setze ich f(x,y) = [mm] \bruch{dy}{dx}. [/mm] In diesem Fall also:
[mm] -\bruch{e^{x}}{y(1+e{x})} [/mm] = [mm] \bruch{dy}{dx}
[/mm]
Nun forme ich so um, dass ich auf eine Gleichung im Format xdx = ydy komme:
[mm] -\bruch{e^{x}}{y(1+e^{x})} [/mm] = [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] |*(-y) |*dx
[mm] \bruch{e^{x}}{1+e^{x}}dx [/mm] = -ydy
Nun integriere ich beide Seiten und erhalte:
[mm] ln|1+e^{x}| [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}y^{2}
[/mm]
Und das ist dann die Lösung?
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Hallo timgkeller,
> Ok, mal sehen, ob ich das richtig verstanden habe. Wenn ich
> die allgemeine Lösung einer DGL 1. Ordnung haben möchte
> (y'(x) = f(x,y)) setze ich f(x,y) = [mm]\bruch{dy}{dx}.[/mm] In
> diesem Fall also:
> [mm]-\bruch{e^{x}}{y(1+e{x})}[/mm] = [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm]
> Nun forme ich so um, dass ich auf eine Gleichung im Format
> xdx = ydy komme:
> [mm]-\bruch{e^{x}}{y(1+e^{x})}[/mm] = [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] |*(-y)
> |*dx
> [mm]\bruch{e^{x}}{1+e^{x}}dx[/mm] = -ydy
> Nun integriere ich beide Seiten und erhalte:
> [mm]ln|1+e^{x}|[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}y^{2}[/mm]
Hier hast Du eine Integrationskonstante vergessen:
[mm]\red{C}+\ln|1+e^{x}|[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}y^{2}[/mm]
Die Betragsstriche sind hier nicht nötig, da [mm]1+e^{x} > 0[/mm].
> Und das ist dann die Lösung?
Gruss
MathePower
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Hossa!
kleiner Zusatz!
Beachte, dass du als Lösuung ja eine Funktion $y$ suchst. Löse also den letzten Kram nach $y$ auf.
Beachte, dass zur vollst. Lösung auch die Angabe des Definitionsbereiches gehört.
Schreibe also mal alle Lösungen schön sauber auf ...
Gruß
schachuzipus
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